МИРЫ ВООБРАЖАЕМЫЕ

От необходимости считать предметы сформировалась арифметика. С переходом на земледелие, появлением городов, гидротехнических сооружений, частной собственности потребовалось измерять земельные участки. Так родилась геометрия. Со временем она превратилась в науку, оперирующую идеальными фигурами.

Система евклидовой геометрии не давала покоя математикам. Они пытались ее опровергнуть или дополнить. Это удалось сделать лишь в XIX в. Геометрия вернулась к реальности, хотя и с позиций идеальных фигур и соотношений.

Гаусс Карл Фридрих

Гаусс Карл Фридрих (1777–1855) – немецкий математик, астроном, геодезист. Сын бедного ремесленника, родившийся в Брауншвейге, он рано проявил свои способности. Помощник учителя в его школе Мартин Бартельс на свой скудный заработок покупал ему книги по математике и обучал этой науке (позже ему суждено будет стать учителем Лобачевского).

Учась в Гёттингенском университете, Гаусс начал писать «Арифметические исследования» по теории чисел и высшей алгебре. Завершается оно теорией уравнений деления круга. Он показал, как построить правильный 17-угольник с помощью циркуля и линейки (завещал выгравировать на своем надгробье эту фигуру, вписанную в круг).

В 1799 г. он защитил диссертацию «Арифметические исследования», получив степень доктора. Когда была открыта первая малая планета, названная Церерой, Гаусс вычислил ее эллиптическую орбиту, подведя итог своих астрономических исследований в «Теории движения небесных тел» (1809).

С 1818 по 1832 г. Карл Фридрих руководил геодезической съемкой Ганноверского королевства. Он создал высшую геодезию, позволяющую точно устанавливать форму земной поверхности. Написал «Общие изыскания о кривых поверхностях» (1828). В связи с решением задач изображения на плоскости карты сферической поверхности Земли, Гаусс подошел к идее неевклидовой геометрии с иным законом параллельных линий. Не выдвинул столь странное учение, дабы избежать нападок коллег.

Карл Фридрих Гаусс. Гравюра XIX в.

Он обосновал абсолютную систему измерения магнитной силы (1831), а через 6 лет изложил общую теорию земного магнетизма. На ее основе предсказал положение Южного магнитного полюса. Основал и возглавил магнитную и астрономическую обсерватории в Гёттингене; сконструировал первый в Германии электромагнитный телеграф.

«Математика – царица наук, – говаривал Гаусс, – арифметика – царица математики». Показательный штрих: в солидной энциклопедии «Великие мыслители Запада» (США, 1992) из математиков присутствуют только Евклид и Гаусс. В посвященной ему статье профессор математики и доктор философии Сьюзан Уильямсон пишет: «Многие видят в нем величайшего математика всех времен […] Гаусс внес значительный вклад во все математические дисциплины. Он преобразовал теорию чисел и предопределил ее будущее направление. Он обосновал предмет дифференциальной геометрии, тем самым заложив математический фундамент общей теории относительности, разработанной впоследствии Эйнштейном. Он проложил новые направления исследования в астрономии и геодезии».

По ее словам: «Присущая восемнадцатому веку убежденность в математической природе Вселенной была поднята на новый уровень в работах Гаусса. Математика и впрямь была орудием естествознания. Но, по мнению Гаусса, математика отнюдь не служанка естествознания. На его взгляд, математика управляет поведением Вселенной; следовательно, чтобы понять Вселенную, мы должны открыть и развить лежащие в ее основе математические теории».

Такие представления, основанные на изучении движений небесных тел, позволяют постичь механику Вселенной, но не проявления жизни и разума, развития Земли, истории цивилизаций и многое другое.

Лобачевский Николай Иванович

Лобачевский Николай Иванович (1792–1856) – русский математик. С детства отличался живым нравом. Окончил Казанский университет. Студенты восхищались его выдумками и проказами, а инспектор писал, что он «явил признаки безбожия» и позволял себе «нарушения порядка и отчасти возмутительные поступки».

Его учителем был математик Мартин Бартельс, учитель и друг Гаусса.

С 1812 г. Лобачевский преподавал в Казанском университете. Впервые о возможности неевклидовой геометрии написал в 1823 г. Статья получила отрицательный отзыв и не была опубликована. Через три года та же участь постигла другую его работу на эту тему. Став ректором Казанского университета, он издал мемуар «О началах геометрии», за который удостоился издевательских статей в двух петербургских журналах.

Н. И. Лобачевский. Художник Л. Д. Крюков

Новая геометрия отвергала постулат Евклида, гласящий: через точку, лежащую вне прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Здравый смысл подсказывает: так оно и есть. Но как доказать это положение или опровергнуть? Или обойтись без него? Оно не выводится из других. Значит, возможна система не Евклидова. Ее и создал Лобачевский, доказав возможность иных миров, кроме замкнутого в трехмерном пространстве с прямоугольными координатами.

Геометрия Лобачевского, которую он назвал «воображаемой», именно реальная. А мир геометрии Евклида идеален: требует только прямоугольных координат. Но разве характерны они для природы?

Кривизну земной поверхности учитывают создатели глобусов или карт, изображающих обширные территории. В случае с неевклидовой геометрией, как бывает нередко, философская идея опередила научную мысль. Еще И. Кант предположил возможность существования «многоразличных видов пространства», добавив, что «наука о них была бы несомненно высшей геометрией».

В 1826 г. в Казани Лобачевский сделал доклад: «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных». Издавая его, предпочел заглавие «Воображаемая геометрия». Хотя обращался – в воображении – к реальности. Например, при измерении достаточно больших треугольников на земной поверхности сумма углов будет меньше 180°, а четырехугольника – меньше 360°.

Идеальным пространством считалась космическая среда. Лобачевский считал, что эту идею «поверить, подобно другим физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, лишь Астрономические наблюдения». Подобная «придирка» казалась нелепой: разве луч света в космосе не летит по идеальной прямой? Но в XX в. было доказано, что в своих сомнениях Лобачевский был прав.

По его словам, основой математики должны быть понятия, «приобретаемые из природы». «Все математические начала, которые думают произвести из самого разума, независимо от вещей мира, останутся бесполезными для математики».

Он утверждал, что в природе мы познаем лишь движение, а пространство само по себе, вне его не существует. Или другая мысль: «Время есть движение, измеряющее другое движение».

Известный французский математик Таннери сравнил Лобачевского с Колумбом, открывшим новый мир. Английский ученый Клиффорд утверждал: «Чем Коперник был для Птолемея, тем Лобачевский был для Евклида. Между Коперником и Лобачевским существует поучительная параллель. Коперник и Лобачевский оба славяне по происхождению. Каждый из них произвел революцию в научных идеях, и значение каждой из этих революций одинаково велико. Причина громадного значения и той и другой революции заключается в том, что они суть революции в нашем понимании Космоса».

По словам Д. И. Менделеева: «Геометрические знания составили основу всей точной науки, а самобытность геометрии Лобачевского – зарю самостоятельного развития наук в России. Посев научный взойдет для жатвы народной…» Между прочим, Дж. Бернал назвал Менделеева «Коперником атомистической системы».

Другой, чуть запоздавший автор неевклидовой геометрии – Янош Больяи – писал: «Из ничего я сотворил новый мир». И еще, учитывая незавершенность своего мемуара: «Я уверен, что это доставит мне такую же славу, как если бы я уже дошел в открытии до конца». Высказывания вполне уместные в устах честолюбивого рекордсмена умственной эквилибристики.

У Лобачевского было иначе. Абстрактные умственные игры его не увлекали. Не вдохновляло и честолюбие. Он стремился постичь природу, великую правду Мироздания.

Достоевский словами героя романа «Братья Карамазовы» упомянул о новом мировосприятии: «Находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже из замечательных, которые сомневаются в том, что вся вселенная, или еще обширнее – все бытие было создано лишь по евклидовой геометрии».

Все бытие! А значит – и микрокосм души человеческой. Геометрия Лобачевского раскрыла новые пространства для воображения.

Больяи Янош

Больяи Янош (1802–1860) – венгерский математик. Родился в семье профессора математики Фаркаша Больяи, учившегося вместе с Гауссом и дружившего с ним в Гёттингенском университете. Янош закончил Военно-инженерную академию в Вене. Увлекался игрой на скрипке и поисками доказательства теоремы о параллельных. Имел нелюдимый и вздорный характер, отличаясь не на службе, а в дуэлях.

Отец опасался за его психику. Писал: «Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий; я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь, и всякий светоч, всякую радость моей жизни я в ней похоронил. Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен его страшиться, как чувственных увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя – оно погубит все радости жизни.

Эта беспросветная мгла может поглотить тысячу ньютоновых башен и никогда на земле не проясниться; никогда несчастный род человеческий не достигнет совершенной истины, – даже в геометрии. Да хранит тебя Бог от этого увлечения, которое тобой овладело. Оно лишит тебя радости не только в геометрии, но и во всей жизни. Я был готов сделаться мучеником этой истины, чтобы только очистить геометрию от этого пятна, чтобы передать роду человеческому безукоризненную науку. Я проделал гигантскую работу; я достиг много лучшего, нежели то, что было получено до меня; но совершенного удовлетворения не получил!»

Но это лишь подхлестнуло его честолюбивого сына. Он уверил отца, что подошел к заветной цели, осталось отработать некоторые детали. В первый том своих работ под названием «Опыт» отец включил мемуар сына как «Аппендикс». Полное заглавие: «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимо от правильности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда не может быть решено), с добавлением геометрической квадратуры круга для случая ложности аксиомы».

Книга вышла в 1832 г. Критика обошла молчанием «Аппендикс». Авторы послали книгу Гауссу. Получили ответ: хвалить работу Яноша «значило бы хвалить самого себя». По словам Гаусса, он уже продумал все это 35 лет назад, но было недосуг обработать и опубликовать результаты.

Фаркош был в восторге: сын сделал научный труд, который был по силам только Гауссу! Януш возмутился ответом Гаусса, заподозрив маститого ученого в зависти. Рассорившись с отцом, он покинул навсегда родной дом. А в 1848 г. получил от отца «подарок»: трактат Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий», опубликованный на немецком языке. Яноша трактат привел в восхищение. Но это лишь усугубило его моральное состояние как непризнанного гения.

Риман Георг Фридрих Бернхард

Риман Георг Фридрих Бернхард (1826–1866) – немецкий математик. Родился в семье сельского священника в провинции Ганновер. В Гёттингенском университете слушал лекции Гаусса, идеи которого в дальнейшем развивал. В Берлинском университете учился у К. Якоби и П. Дирихле. Защитил докторскую диссертацию «Основы общей теории функций одной комплексной переменной» (1854). Открыл новое построение теории аналитических функций и геометрическое направление в ее развитии. Ввел «римоновые поверхности», имеющие важное значение при исследованиях многозначных аналитических функций. С 1857 г. стал профессором Гёттингенского университета.

В своей диссертации он высказал основные идеи новой геометрической науки – топологии. Развил их в лекции «О гипотезах, лежащих в основе геометрии» (опубликована после его смерти). Он представил более широкое, чем у Лобачевского, учение о многомерном геометрическом пространстве – как учение о непрерывных многообразиях n-го порядка. В этой системе геометрии Евклида, Лобачевского, Больяи были частными случаями.

…У Римана было немало других достижений в ряде математических дисциплин. Некоторые из них нашли применение в обновленной физике ХХ в. Если не ошибаюсь, представление о многомерных пространствах признаков в информатике тоже берет свое начало в его исследованиях.

Эволюция математики – тема специфическая. Эта область знаний сравнительно быстро приобрела самостоятельное значение и стала дробиться на дисциплины, рассказывать о которых без формул и углубленных специальных знаний невозможно.

В научных исследованиях методы математики ценны, порой незаменимы. Но они остаются вспомогательным средством в познании Земли, Жизни, Разума. А мы будем уделять наибольшее внимание именно естествознанию, познанию природы. Математические дисциплины и соответствующих ученых будем упоминать лишь в отдельных случаях, сообщая о них кратко, как это делается в общедоступных справочниках.