Глава 7. Небольшая проблема

Глава 7. Небольшая проблема

В задачах тех ищи удачи,

Где получить рискуешь сдачи.

Пит Хейн

Едва Уайлс закончил свою лекцию в Кембридже, как комиссию Вольфскеля известили о том, что Великая теорема Ферма, наконец, доказана. Премия не могла быть вручена немедленно, так как, по правилам конкурса, ясным и четким, требовались подтверждение правильности доказательства со стороны других математиков и официальная публикация доказательства. Королевское научное общество в Гёттингене в свое время официально уведомило всех о том, что «к рассмотрению допускаются только математические мемуары, представленные в виде статей в периодических изданиях или имеющиеся в книжных лавках… Премия присуждается Обществом не ранее, чем через два года после опубликования мемуара, удостоенного премии. Двухлетний промежуток времени необходим для того, чтобы немецкие и иностранные математики имели возможность высказать свое мнение по поводу опубликованного решения».

Уайлс направил свою рукопись в редакцию журнала «Inventiones Mathematical», после чего редактор журнала Барри Мазур приступил к подбору рецензентов. В своей работе Уайлс использовал различные методы, как старые, чтобы не сказать древние, так и современные, и Мазур, в порядке исключения, решил привлечь к рецензированию работы Уайлса не двух-трех экспертов, как обычно, а шестерых. Каждый год математические журналы всего мира публикуют около тридцати тысяч статей, но огромный объем и значимость рукописи Уайлса требовали, чтобы и рецензирование ее производилось на необычайно высоком уровне. Для упрощения работы все доказательство, занимавшее 200 страниц, было разделено на шесть частей, и на каждого рецензента возлагалась ответственность за одну из этих частей-глав.

Рецензирование главы 3 было поручено Нику Катцу, которому в том году уже приходилось изучать эту часть доказательства Уайлса: «Летом я отправился поработать в Парижский институт высших исследований (IHES) и захватил с собой полное 200-страничное доказательство — моя глава занимала семьдесят страниц. Прибыв в Париж, я решил, что мне понадобится серьезная техническая помощь, и я настоял, чтобы Люк Иллюзи, который также находился в то время в Париже, разделил со мной обязанности рецензента. Все лето мы с Люком встречались по несколько раз в неделю — главным образом, для того, чтобы читать друг другу лекции и пытаться совместными усилиями до конца разобраться в этой главе. Все, что мы делали, сводилось к тщательному, строка за строкой, прочтению рукописи для того, чтобы убедиться, что никаких ошибок в доказательстве нет. Иногда мы заходили в тупик — это бывало раз или два раза в день, и тогда я отправлял Эндрю вопрос по электронной почте примерно такого содержания: "Я не понимаю, что Вы пишете на странице такой-то". Или: "Мне кажется, что в строке такой-то у Вас ошибка". Как правило, я получал ответ в тот же день или на другой день, недоразумение выяснялось, и мы с Люком переходили к следующей проблеме».

Доказательство представляло собой гигантскую цепочку рассуждений, весьма хитроумно выстроенных из сотен математических вычислений, склеенных воедино логическими связями. Если всего лишь одно вычисление оказалось бы ошибочным, или одно звено разорвалось, то все доказательство могло бы обесцениться. Уайлс, вернувшийся в Принстон, с беспокойством ждал, когда рецензенты завершат свою работу. «Мне не хотелось праздновать победу до тех пор, пока проверка не будет закончена. Я занимался, в основном, ответами на вопросы, которые получал по электронной почте от рецензентов. У меня была уверенность, что ни один из этих вопросов не доставит мне особых хлопот». Прежде чем предоставить доказательство референтам, Уайлс проверил и перепроверил его сам, и поэтому был уверен, что те вряд ли сумеют обнаружить в его рукописи что-нибудь, кроме математического эквивалента грамматических ошибок или опечаток — тривиальных ошибок, которые он сможет легко исправить.

«Вопросы возникали вплоть до августа, — вспоминает Катц, — пока я не наткнулся на нечто, показавшееся еще одной небольшой проблемой. Где-то около 23 августа я отправил Эндрю запрос по электронной почте. Проблема оказалась несколько более сложной, поэтому ответ Эндрю прислал по факсу. Меня этот ответ не удовлетворил, поэтому я еще раз направил Эндрю запрос по электронной почте и получил еще один ответ по факсу, который меня также не удовлетворил».

Уайлс поначалу предполагал, что очередная ошибка столь же несерьезна, как и предыдущие, но настойчивость Катца вынудила отнестись к ней серьезнее: «Я не мог немедленно ответить на заданный мне вопрос, который выглядел вполне невинно. Мне казалось, что вопрос того же порядка, что и другие, но где-то в сентябре я начал понимать, что речь шла не о какой-то незначительной трудности, а о фундаментальном пробеле. Это была ошибка в решающей части рассуждения, связанного с использованием метода Колывагина-Флаха, но настолько тонкая, что я заметил ее только после того, как мне ее указали. Описать, в чем суть ошибки в простых терминах невозможно: для этого она слишком абстрактна. Даже для того, чтобы объяснить ее математику, от последнего потребовалась бы готовность затратить два-три месяца для тщательного изучения рукописи с доказательством».

По существу, проблема сводилась к тому, что метод Колывагина-Флаха мог не сработать так, как было необходимо Уайлсу. Предполагалось, что доказательство, полученное для первых элементов E-рядов эллиптических кривых, и M-рядов модулярных форм, допускает обобщение на все элементы E- и M-рядов, что и позволяло применять принцип математической индукции. Первоначально метод Колывагина-Флаха был применим только при определенных ограничительных условиях, но Уайлс полагал, что ему удалось усилить метод настолько, что тот удовлетворял всем необходимым требованиям. По словам Катца, в действительности это было не так, и последствия были драматическими и опустошительными. Обнаруженная ошибка не обязательно означала, что доказательство Уайлса нельзя спасти, но одно было несомненно: Уайлсу было необходимо восполнить существенный пробел в доказательстве. Абсолютизм математики требовал, чтобы Уайлс дал не оставляющее ни малейших сомнений доказательство того, что предложенный им метод применим к каждому элементу любого E-ряда и любого M-ряда.