Доказательства на чипах

Доказательства на чипах

В первой схватке с Великой теоремой Ферма единственным оружием Уайлса были карандаш, бумага и чистая логика. И хотя его доказательство использует самые современные методы теории чисел, оно выдержано в лучших традициях Пифагора и Евклида. Но недавно появились зловещие признаки того, что доказательство Уайлса, возможно, стало одним из последних примеров классического доказательства, и будущие доказательства столь сложных проблем будут полагаться не столько на изящные рассуждения, сколько на грубую силу.

Первые признаки того, что некоторые называют упадком математики, появились в октябре 1852 года в Англии, когда Фрэнсис Гатри, который мог уделять математике лишь часть своего времени, предложил одну, на первый взгляд, безобидную задачу. Однажды, раскрашивая от нечего делать карту графств Британии, Гатри наткнулся на головоломку, которая показалась ему простой, хотя решить ее он так и не сумел. Гатри просто хотел узнать, каково минимальное число красок необходимо взять для раскраски любой мыслимой карты при условии, чтобы никакие две смежные области (имеющие общую границу) не оказались окрашенными в один и тот же цвет.

Например, для раскрашивания карты, изображенной на рисунке, трех красок недостаточно. Следовательно, для раскрашивания некоторых карт необходимы по крайней мере четыре краски. Гатри хотел узнать, окажется ли четырех красок достаточно для раскрашивания всех карт, или для некоторых карт могут потребоваться пять, шесть или больше красок.

 Разочарованный неудачей, но заинтригованный, Гатри упомянул об этой задаче в беседе со своим братом Фредериком, студентом Университетского колледжа в Лондоне. Тот, в свою очередь, рассказал о ней своему профессору, знаменитому Августу Де Моргану, который в письме от 23 октября сообщил великому ирландскому математику и физику Уильяму Роэну Гамильтону: «Мой студент попросил меня сегодня объяснить одну задачу, которая мне не была ранее известна и пока не понятна до конца. Он утверждает, что если любую фигуру разделить любым способом на части и раскрасить их различными красками так, чтобы фигуры, имеющие общий отрезок граничной линии, были окрашены в различные цвета, то всего потребуются четыре краски, но не больше. Мне известен случай, когда требуется четыре краски. Вопрос: нельзя ли придумать случай, когда необходимы пять или более красок?.. Если Вы придумаете очень простой пример, который покажет, насколько я глуп, то, думается, мне надо будет поступить, как Сфинксу»[24].

Гамильтону не удалось придумать карту, для раскраски которой потребовалось бы пять цветов, но он не сумел и доказать, что такой карты не существует. Весть о проблеме четырех красок быстро распространилась по Европе, но, несмотря на все усилия, проблема упорно не поддавалась решению, хотя казалась простой. Герман Минковский однажды на лекции заявил, что проблема четырех красок не была решена потому, что найти решение пытались только третьеразрядные математики. Но и его собственные усилия в течение нескольких недель не увенчались успехом. «Небеса разгневались на меня за мое высокомерие, — вынужден был признать Минковский. — Мое доказательство также оказалось с изъяном».

Автор задачи о четырех красках Фрэнсис Гатри вскоре покинул Англию и отправился в Южную Африку, где занялся адвокатской деятельностью. Но в конце концов он вернулся к математике, став профессором Кейптаунского университета. Впрочем, Гатри проводил больше времени на ботаническом факультете, чем со своими коллегами-математиками. Помимо проблемы четырех красок его единственной заявкой на славу стало описание вереска, названого в его честь Erica guthriei.

 Фрэнсис Гатри понял, что карту графств Британии он мог бы раскрасить всего лишь в четыре цвета, причем так, что никакие два соседних графства не оказались бы раскрашенными в один и тот же цвет. Затем он стал размышлять над тем, хватит ли четырех цветов для аналогичной раскраски любой другой карты

Проблема четырех красок оставалась нерешенной четверть века. Надежда на успех появилась в 1879 году, когда британский математик Альфред Брей Кемпе опубликовал в «American Journal of Mathematics» статью, в которой, по его утверждению, содержалось решение головоломки Гатри. Казалось, Кемпе удалось доказать, что для раскраски любой карты требуется самое большее четыре краски, и тщательное изучение доказательства вроде бы подтверждало его правильность. Кемпе был тотчас же избран членом Королевского общества, а позднее возведен в рыцарское звание за вклад в развитие математики.

Но в 1890 году лектор Дурхэмского университета Перси Джон Хивуд опубликовал работу, потрясшую математический мир. Через десять лет после того, как Кемпе, казалось бы, решил проблему четырех красок, Хивуд не оставил от его решения камня на камне, показав, где в решении Кемпе была допущена принципиальная ошибка. Единственной хорошей новостью было то, что Хивуду удалось получить оценку для максимального числа красок: оно могло быть равно четырем или пяти, но не более.

Хотя Кемпе, Хивуду и другим так и не удалось решить проблему четырех красок, их попытки внесли большой вклад в новый раздел математики — топологию. В отличие от геометрии, которая занимается изучением точной формы и размеров объекта, топологию интересуют только самые фундаментальные свойства объекта, составляющие его суть.

Например, когда геометр изучает квадрат, его интересуют такие свойства квадрата, как равная длина сторон и то, что все внутренние углы квадрата прямые. Когда же тополог изучает квадрат, его интересует только то обстоятельство, что контур квадрата представляет одну сплошную замкнутую линию, т. е. по существу — петлю. Поэтому для тополога окружность неотличима от квадрата, поскольку окружность также представляет собой одну петлю. Математик Джон Келли как-то раз заметил: «Тополог — это тот, кто не отличает бублик от кофейной чашки».

Топологическую эквивалентность квадрата и окружности можно наглядно представить себе и другим способом, вообразив, что квадрат или окружность начерчены на резиновом листе. Если выбрать за исходную фигуру квадрат, то, растягивая, сжимая, изгибая и перекручивая резиновый лист (но не разрывая его и не склеивая никакие точки), квадрат можно превратить в окружность. С другой стороны, квадрат невозможно превратить в крест, как бы мы ни деформировали резиновый лист. Следовательно, квадрат и крест топологически не эквивалентны. Из-за такого подхода к наглядному представлению топологических свойств фигур топологию часто называют «геометрией на резиновом листе».

Отказавшись от таких понятий, как длина и угол, топологи могут отличать объекты по таким свойствам, как число точек пересечения, которыми обладает объект. По точкам пересечения восьмерка существенно отличается от окружности, так как у восьмерки имеется точка, где пересекаются четыре линии, тогда как у окружности точек пересечения нет вообще. Сколько бы мы ни растягивали и ни изгибали восьмерку, ее невозможно превратить в окружность. Топологи занимаются также изучением трехмерных объектов (и даже объектов более высокой размерности), у которых их внимание привлекают такие фундаментальные свойства, как дыры, петли и узлы.

Математики надеялись, что рассматривая карты через упрощающие линзы топологии, они сумеют постичь самую суть проблемы четырех красок. Первый успех пришел в 1925 году, когда Филип Франклин, оставив в стороне общую проблему четырех красок, сумел доказать, что для раскрашивания любой карты, содержащей не более 25 областей, требуются только четыре краски. Другие математики попытались использовать метод Франклина, и в 1926 году Рейнольдс обобщил доказательство Франклина, сумев довести число областей до 27. В 1940 году Винн распространил доказательство на карты с 35 областями, а в 1970 году Оре и Стемпл увеличили число областей до 39. Казалось, история проблемы четырех красок повторяет историю Великой теоремы Ферма: продвижение к бесконечно многим областям происходило медленно. В правильности исходной гипотезы Гатри почти не было сомнений, но до тех пор, пока не получено доказательство для общего случая, всегда оставалась возможность, что кому-нибудь все же удастся начертить карту, которая опровергнет эту гипотезу. И, действительно, в 1975 году известный популяризатор науки и многолетний ведущий раздела «Математические игры» журнала «Scientific American» Мартин Гарднер опубликовал карту, для раскрашивания которой якобы требовались пять красок. Однако номер журнала «Scientific American» вышел 1 апреля, а Гарднер был великолепно осведомлен о том, что хотя раскрасить его карту четырьмя красками довольно трудно, но отнюдь не невозможно. Возможно, вы захотите попробовать сделать это сами. Карта, о которой идет речь, изображена на рис. 28.

 Рис. 28.

Со временем становилось ясно, что традиционные подходы не позволяют преодолеть пропасть, отделяющую предложенное Оре и Стемплом доказательство для карт, содержащих не более 39 областей, от доказательства для любых карт, возможно, состоящих из бесконечно большого числа областей. И вот в 1976 году два математика из Иллинойского университета, Вольфганг Хакен и Кеннет Аппель, предложили новый метод, перевернувший традиционные представления о математическом доказательстве.

Хакен и Аппель изучили работу Генриха Хееша, утверждавшего, что из некоторого конечного числа карт, содержащих конечное число областей, можно построить бесконечное множество разнообразнейших карт. Изучение карт, составленных из таких строительных блоков, позволяет составить представление о том, как следует искать подходы к решению общей проблемы четырех красок. Основные карты можно рассматривать как эквиваленты электрона, протона и нейтрона — фундаментальных «кирпичиков», из которых построено все остальное. Хакену и Аппелю удалось свести проблему четырех красок «всего лишь» к 1482 конфигурациям, служащим теми строительными блоками, из которых можно составить любую карту. Если бы Хакен и Аппель смогли доказать, что каждый из этих строительных блоков может быть раскрашен четырьмя красками, то из этого следовало бы, что все карты также могут быть раскрашены в четыре краски.

Разумеется, проверка всех 1482 карт и перебор различных комбинаций раскраски каждой из них — задача необычайно громоздкая и трудоемкая, заведомо выходящая за рамки возможностей любой группы математиков. Даже при использовании компьютера перебор возможных вариантов мог бы затянуться на столетие. Но Хакен и Аппель не пали духом и принялись разыскивать удачные ходы и стратегии, использование которых позволило бы ускорить проверку карт и вариантов их раскрашивания. В 1975 году, через пять лет после того как они приступили к работе над проблемой четырех красок, Хакен и Аппель стали свидетелями, что компьютер не только выполняет вычисления, но и делает нечто большее, а именно привносит в работу новые идеи. Хакен и Аппель вспоминают поворотный пункт в их исследовании: «Когда мы дошли до этого пункта, программа начала удивлять нас. Первое время мы проверяли от руки все ее вычисления и могли всегда предсказать, как она будет работать в любой ситуации; но теперь она неожиданно повела себя, как шахматная машина. Программа стала выдавать составные стратегии, используя всевозможные трюки, которым она «научилась», и часто предлагаемые программой подходы оказывались более умными, чем те, которые могли предложить мы сами. Так программа стала учить нас, как действовать, чего мы от нее никак не ожидали. В каком-то смысле программа превзошла нас, ее создателей, не только в механической, но и в «интеллектуальной» части работы».

В июне 1976 года, затратив 1200 часов машинного времени, Хакен и Аппель заявили во всеуслышание, что им удалось проанализировать все 1482 карты и для раскрашивания ни одной из них не требуется более четырех красок. Проблема четырех красок Гатри была наконец решена. Следует особенно подчеркнуть, что решение проблемы четырех красок стало первым математическим доказательством, в котором роль компьютера не сводилась к ускорению вычислений, — компьютер привнес в решение проблемы нечто гораздо большее: его роль была столь значительной, что без компьютера получить доказательство было бы невозможно. Решение проблемы четырех красок с помощью компьютера было выдающимся достижением, но в то же время оно вызвало у математического сообщества чувство тревоги, так как проверка доказательства в традиционном смысле не представлялась возможной.

Прежде, чем опубликовать решение Хакена и Аппеля на страницах «Illinois Journal of Mathematics», редакторам было необходимо подвергнуть его тщательному рецензированию в каком-то не известном ранее смысле. Традиционное рецензирование было невозможно, поэтому было решено ввести программу Хакена и Аппеля в независимый компьютер с тем, чтобы убедиться, что результат останется тем же.

Такое нестандартное рецензирование привело в ярость некоторых математиков, утверждавших, будто компьютерная поверка неадекватна, так как не дает гарантии от внезапного отказа в недрах компьютера, который может стать причиной сбоя в логике. X.П.Ф. Суиннертон-Дайер высказал следующее замечание по поводу компьютерных доказательств: «Когда теорема доказана с помощью компьютера, невозможно изложить доказательство в соответствии с традиционным критерием — так, чтобы достаточно терпеливый читатель смог шаг за шагом повторить доказательство и убедиться в том, что оно верно. Даже если бы кто-нибудь взял на себя труд распечатать все программы и все данные, использованные в доказательстве, нельзя быть уверенным в абсолютно правильной работе компьютера. Кроме того, у любого современного компьютера по каким-то неясным причинам могут быть слабые места как в программном обеспечении, так и в электронном оборудовании, которые могут приводить к сбоям так редко, что остаются необнаруженными на протяжении нескольких лет, и поэтому в работе каждого компьютера могут быть незамеченные ошибки».

До какой-то степени поведение математического сообщества, предпочитавшего избегать компьютеров вместо того, чтобы их использовать, можно рассматривать как своего рода паранойю. Джозеф Келлер как-то заметил, что в его университете (Стэнфорде) математический факультет имел меньше компьютеров, чем любой другой факультет, в том числе факультет французской литературы. Те математики, которые отказались признать работу Хакена и Аппеля, не могли отрицать, что все математики соглашались принимать традиционные доказательства, даже если они сами не проверяли их. В случае доказательства Великой теоремы Ферма, представленного Уайлсом, менее 10 % специалистов по теории чисел полностью понимали его рассуждения, но все 100 % сочли, что доказательство правильное. Те, кто не смог до конца понять все тонкости доказательства, приняли его потому, что доказательство признали другие—те, кто все понял, шаг за шагом проследил весь ход доказательства и проверил каждую деталь.

Еще более ярким примером может служить так называемое доказательство классификации конечных простых групп, состоящее из 500 отдельных работ, написанных более чем сотней математиков. Говорят, что полностью разобрался в этом доказательстве (общим объемом в 15000 страниц) один-единственный человек на свете — скончавшийся в 1992 году Дэниэл Горенстейн. Тем не менее, математическое сообщество в целом могло быть спокойным: каждый фрагмент доказательства был изучен группой специалистов, и каждая строка из 15000 страниц была десятки раз проверена и перепроверена. Что же касается проблемы четырех красок, то с ней дело обстояло иначе: она никем не была и не будет полностью проверена.

За двадцать лет, прошедших с тех пор, как Хакен и Аппель сообщили о доказательстве теоремы о четырех красках, компьютеры неоднократно использовались для решения других, менее известных, но столь же важных проблем. В математике — области, не ведавшей ранее вмешательства столь современной технологии, как компьютеры, — все больше и больше специалистов неохотно осваивали использование кремниевой логики и разделяли мнение Вольфганга Хакена: «Всякий, в любом месте доказательства, может полностью вникнуть в детали и проверить их. То, что компьютер может за несколько часов «просмотреть» столько деталей, сколько человек не сможет просмотреть за всю свою жизнь, не меняет в принципе представление о математическом доказательстве. Меняется не теория, а практика математического доказательства».

Лишь совсем недавно математики наделили компьютеры еще большей властью, используя так называемые генетические алгоритмы. Это компьютерные программы, общая структура которых составлена математиком, но тонкие детали определяются самим компьютером. Некоторые направления, или «линии», в программе обладают способностью мутировать и эволюционировать наподобие индивидуальных генов в органической ДНК. Отправляясь от исходной материнской программы, компьютер может порождать сотни дочерних программ, слегка отличающихся из-за введенных компьютером случайных мутаций. Дочерние программы используются в попытках решения проблемы. Большинство программ бесславно не срабатывают, а та, которой удается дальше других продвинуться к желанному результату, используется в качестве материнской программы, порождающей новые поколение дочерних программ. Выживание наиболее приспособленного интерпретируется как выделение той из дочерних программ, которая позволяет особенно близко подойти к решению проблемы. Математики надеются, что, повторяя этот процесс, программа без вмешательства извне приблизится к решению проблемы. В некоторых случаях такой подход оказался весьма успешным.

Специалист в области «computer science» Эдвард Френкин даже заявил, что когда-нибудь компьютер найдет решение какой-нибудь важной проблемы без помощи математиков. Десять лет назад Френкин учредил премию Лейбница размером в 100000 долларов. Премия будет присуждена первой компьютерной программе, способной сформулировать и доказать теорему, которая окажет «глубокое влияние на развитие математики». Будет ли когда-нибудь присуждена премия Лейбница — вопрос спорный, но одно можно сказать со всей определенностью: компьютерной программе всегда будет недоставать прозрачности традиционных доказательств, и в сравнении с ними она будет проигрывать, уступая им в глубине. Математическое доказательство должно не только давать ответ на поставленный вопрос, но и способствовать пониманию, почему ответ именно таков, каков он есть, и в чем именно состоит его суть. Задавая вопрос на входе в черный ящик и получая ответ на выходе из него, мы увеличиваем знание, но не понимание. Из представленного Уайлсом доказательства Великой теоремы Ферма мы узнали, что уравнение Ферма не допускает решений в целых числах потому, что любое такое решение привело бы к противоречию с гипотезой Таниямы-Шимуры. Уайлс не только ответил на вызов Ферма, но и обосновал свой ответ, указав, что он должен быть именно таким, а не другим, чтобы не нарушить фундаментальное соответствие между эллиптическими кривыми и модулярными формами.

Математик Рональд Грэхем описывает недостаточную глубину компьютерных доказательств на примере одной из великих не доказанных по сей день гипотез — гипотезы Римана: «Я был бы весьма и весьма разочарован, если бы можно было подключиться к компьютеру, спросить у него, верна ли гипотеза Римана, и получить в ответ: "Да, верна, но Вы не сможете понять доказательство"». Математик Филип Дэвис, похожим образом отреагировал на решение проблемы четырех красок: «Моей первой реакцией было: "Потрясающе! Как им удалось решить эту проблему?". Я ожидал какой-то блестящей новой идеи, красота которой перевернула бы всю мою жизнь. Но когда я услышал в ответ: "Они решили проблему, перебрав тысячи случаев и пропустив все варианты один за другим через компьютер", — меня охватило глубочайшее уныние. Я подумал: "Значит, все сводилось к простому перебору, и проблема четырех красок вовсе не заслуживала названия хорошей проблемы"».