Приложение 7. Пример неправильного доказательства

Приложение 7. Пример неправильного доказательства

Приведем классический пример того, как легко, начав с очень простого утверждения и сделав всего лишь несколько, казалось бы, прямых и вполне логичных шагов, показать, 2=1.

Начнем с невинного утверждения о том, что

a = b.

Умножив обе части равенства на a, получим:

a² = ab.

Добавив к обеим частям равенства по a²–2ab:

a² + a² – 2ab = ab + a² – 2ab.

Это равенство можно упростить:

2(a² — ab) = a² — ab.

Наконец, сокращая это выражение на a²-ab получаем требуемое равенство 2=1.

Исходное утверждение казалось совершенно безвредным (и на самом деле оно не таит в себе ничего плохого), но, производя шаг за шагом преобразования равенства a=b, мы допустили маленькую, но роковую ошибку, которая и привела нас к противоречию. Эту ошибку мы допустили, производя последнее преобразование, когда разделили обе части равенства на a²-ab. Из исходного утверждения нам известно, что a=b. Следовательно, деление на a²-ab эквивалентно делению на нуль.

Такого рода тонкая ошибка типична для просчетов, допущенных многими соискателями премии Вольфскеля.