Приложение 8. Аксиомы арифметики

Приложение 8. Аксиомы арифметики

Величественное здание арифметики опирается на следующие аксиомы.

1. Для любых чисел m и n

m + n = n + m и mn = nm.

2. Для любых чисел m, n и k

(m + n) + k = m + (n + k) и (mn)k = m(nk).

3. Для любых чисел m, n и k

m(n + k) = mn + mk.

4. Существует число 0, такое, что для любого числа n

n + 0 = n.

5. Существует число 1, такое, что для любого числа n

n·1 = n.

6. Для любого числа n существует другое число k, такое, что

n + k = 0.

7. Для любых чисел m, n и k

если k ? 0 и kn = km, то m = n.

Исходя из этих аксиом, можно доказать другие правила арифметики. Например, используя только приведенные выше аксиомы и не прибегая ни к каким другим допущениям, мы можем строго доказать правило, которое кажется очевидным и заключается в следующем:

если m + k = n + k, то m = n.

Прежде всего, пусть

m + k = n + k.

Аксиома 6 гарантирует, что существует число l, такое, что k+l=0, поэтому

(m + k) + l = (n + k) + l.

Но по аксиоме 2

m + (k + l) = n + (k + l).

Принимая во внимание, что k+l=0, получаем:

m + 0 = n + 0.

Аксиома 4 позволяет нам утверждать то, что требовалось доказать, а именно:

m = n.