К истории основополагающих работ по кинетической теории плазмы

К истории основополагающих работ по кинетической теории плазмы

А. Ф. Александров (МГУ), А. А. Рухадзе (ИОФ РАН)

Физика плазмы. 1997. 23, № 5. С. 474–480

К этой статье следует дать предварительные пояснения. Она была написана по предложению главного редактора журнала «Физика плазмы» академика В. Д. Шафранова. В ней показано, что А. А. Власов по существу предвосхитил квантовоэлектродинамический подход описания системы заряженных частиц, в котором гамильтониан записывается в виде суммы гамильтонианов свободных частиц, электромагнитного поля и взаимодействия между ними. Парные взаимодействия между частицами, рассматриваемые Л. Д. Ландау, при этом следуют из общего гамильтониана системы. В этом суть метода самосогласованного поля А. А. Власова. В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, М. А. Леонтович и В. А. Фок именно этого обстоятельства в то время не понимали. Позже, после появления квантовой электродинамики, ученики Л. Д. Ландау это поняли и поняли глубокую ошибочность статьи № 2. Не случайно эта статья не вошла в сборник трудов Л. Д. Ландау. Нигде в курсе теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица она не упоминается, так же как не упоминается и парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена (ПЭПР, 1935) и огромная дискуссия вокруг него, продолжающаяся до сих пор. ПЭПР также является следствием непонимания авторами ограниченности нерелятивистской квантовой механики, использующей парное взаимодействие между частицами. Судя по статье В. Л. Гинзбурга № 6, он, в отличие от учеников Л. Д. Ландау, остался на старых позициях. Поэтому я привел его статью в настоящем приложении, чтобы читатель смог в этом убедиться сам.

С позиций современных представлений, сформулированных в основном Н. Н. Боголюбовым в 1946 г., обсуждаются работы Л. Д. Ландау 1936 г., А. А. Власова 1938 г. и Л. Д. Ландау 1946 г., заложившие основы кинетической теории плазмы как газа кулоновски взаимодействующих частиц. Дана оценка той дискуссии, которая возникла между Л. Д. Ландау и А. А. Власовым в 1949 г.

1. 1996-й год является юбилейным: на него приходится ряд дат, которые связаны с некоторыми вехами в развитии кинетической теории плазмы как газа системы частиц с электромагнитным взаимодействием. Шестьдесят лет назад, т. е. в 1936 г., была опубликована одна из наиболее цитируемых работ Л. Д. Ландау «Кинетическое уравнение в случае кулоновского взаимодействия» [1], в которой был получен знаменитый интеграл упругих кулоновских столкновений заряженных частиц — интеграл Ландау, играющий важную роль в кинетической теории плазмы. Десять лет спустя, в 1946 г., появилась не менее популярная работа Л. Д. Ландау «О колебаниях электронной плазмы» [2], в которой исходя из кинетического уравнения Власова было открыто новое явление — «бесстолкновительное» затухание электронных ленгмюровских колебаний, получившее название затухания Ландау. А в промежутке между этими статьями Л. Д. Ландау в 1938 г. была опубликована основополагающая работа А. А. Власова «О вибрационных свойствах электронного газа» [3], в которой было получено кинетическое уравнение для плазмы в первом основном приближении по кулоновскому взаимодействию — приближении взаимодействия через самосогласованное поле. Это уравнение получило название уравнения Власова. Хотя в то время оно было недостаточно строго обосновано, но именно полученные с помощью этого уравнения, в том числе в первую очередь самим А. А. Власовым, результаты составили основу современной кинетической теории плазмы. Строгое обоснование уравнения Власова было дано в 1946 г. в монографии Н. Н. Боголюбова «Проблемы динамической теории в статистической физике» [4]. В 1996 г. исполняется 50 лет и этой прекрасной книге, в которой Н. Н. Боголюбовым было обосновано не только уравнение Власова как основное приближение для газа кулоновски взаимодействующих частиц, но также показано, что интеграл столкновений Ландау учитывает следующий порядок по кулоновскому взаимодействию частиц в плазме. Уравнение Власова, дополненное интегралом столкновений Ландау, образует общее кинетическое уравнение для плазмы, которое следовало бы назвать уравнением Власова-Ландау. Таким образом, творцами кинетической теории плазмы следует считать А. А. Власова и Л. Д. Ландау. Ниже мы кратко обсудим работы Л. Д. Ландау [1, 2] и А. А. Власова [3] с позиции сегодняшнего дня (которая, по существу, совпадает с позицией, предложенной в монографии Н. Н. Боголюбова [4]). В заключение же, подводя итог, дадим свою оценку (и только оценку) критической статье четырех авторов [5] и ответу А. А. Власова, который, к сожалению, был опубликован в малоизвестном в то время ведомственном журнале [6].

2. К началу 1930-х годов возникла острая необходимость в построении кинетической теории плазмы как нейтрального в целом газа заряженных частиц: электронов и ионов. Она диктовалась в первую очередь экспериментальными работами И. Ленгмюра, исследовавшего релаксационные процессы в плазме газового разряда в широком диапазоне плотностей и температур частиц. Первым, кто достиг существенного прогресса на этом пути, был Л. Д. Ландау, который в 1936 г. получил кинетическое уравнение для газа с кулоновским взаимодействием частиц. При выводе кинетического уравнения для функции распределения f(p, r, t) определяющей вероятность обнаружения частицы с импульсом p в точке r в момент времени t, Ландау исходил из уравнения Больцмана, в котором изменение f(p, r, t) определяется парными столкновениями[49]

Здесь

а (df/dt)_st — интеграл парных упругих столкновений, являющийся билинейным функционалом f(p, r, t). В соответствии с духом больцмановского приближения сила F может быть только внешней, так что и поля E₀ и B₀ могут быть только внешними, их источниками в уравнениях Максвелла являются заданные плотности заряда ?₀ и тока j₀.

Здесь уместно заметить, что при написании уравнения (1) для обычного газа незаряженных частиц Больцман рассматривал частицы как твердые сферы с геометрическим радиусом a₀ (радиусом взаимодействия). Условие применимости кинетического описания посредством уравнения (1) для такой системы записывается в виде

где n₀ — плотность частиц. Это неравенство, соответствующее малости размера частиц a₀, т. е. радиуса их взаимодействия, по сравнению со средним расстоянием между частицами есть условие применимости газового приближения для системы нейтральных частиц. Оно означает, что частицы основное время находятся в свободном полете и лишь изредка сталкиваются. При этом, хотя потенциал взаимодействия и бесконечно велик, т. е. взаимодействие сильное, происходит такое взаимодействие редко.

Л. Д. Ландау при выводе уравнения (1) для газа из кулоновски взаимодействующих частиц условием типа (3) воспользоваться не мог, поскольку характерный радиус взаимодействия в этом случае «бесконечно» велик. Он воспользовался малостью средней потенциальной энергии взаимодействия частиц e²n^1/3 по сравнению со средней кинетической энергией теплового движения ?T и за условие газовости плазмы принял

где e — заряд электрона, n — плотность электронов, а ? — постоянная Больцмана. Это позволило ему получить сходящийся интеграл парных столкновений и записать кинетическое уравнение (1) в виде

где

Здесь u = v — v₁ — относительная скорость сталкивающихся частиц, а L — кулоновский логарифм

Суммирование в (5) распространяется по электронам и ионам.

Заметим, что при условии (4) поле пробного статического заряда q в плазме оказывается экранированным, причем потенциал поля дается формулой

где  — дебаевский радиус, его можно считать характерным радиусом взаимодействия заряженных частиц в плазме. Именно это обстоятельство и использовал Ландау при выводе уравнения (5) и получил сходящийся интеграл столкновений, когда обрезал кулоновское взаимодействие на дебаевском радиусе.

Вместе с тем, если r_p сравнить со средним расстоянием между частицами, то окажется, что их отношение велико:

Это означает, что в сфере действия заряженной частицы находится большое число других частиц, и в этом смысле возникает сомнение в справедливости учета только парных столкновений, а следовательно, и самого кинетического уравнения Ландау (5).

3. Первым, кто обратил внимание на неприменимость больцмановского приближения для описания плазмы, был А. А. Власов, который писал [3]: «Метод кинетического уравнения, учитывающий только парное взаимодействие — взаимодействие посредством удара — для системы заряженных частиц является аппроксимацией, строго говоря, неудовлетворительной. В теории таких совокупностей существенную роль должны играть силы взаимодействия и на далеких дистанциях. Следовательно, система заряженных частиц есть по существу не газ, а своеобразная система, стянутая далекими силами»[50]. При этом А. А. Власов обосновывал свое утверждение из неравенства (8), являющегося следствием (4). Согласно (4), внутри радиуса действия сил находится одновременно много частиц, в то время как, согласно приближению Больцмана (3), должно иметь место обратное условие. Это и натолкнуло А. А. Власова на мысль ввести взаимодействие данной частицы одновременно со всеми частицами плазмы посредством создаваемых этими частицами электромагнитных полей как главное взаимодействие. Парные же взаимодействия должны учитываться как малые поправки.

В результате кинетическое уравнение для электронов запишется в виде

В отличие от уравнения Ландау (5) здесь поля E и B — это полные поля, создаваемые не только внешними источниками, но и самими частицами плазмы. Поэтому они удовлетворяют уравнениям Максвелла

в которых кроме внешних источников p^ext и j^ext фигурируют индуцированные в плазме источники:

Здесь так же, как и выше, суммирование ведется по всем сортам заряженных частиц.

Что же касается (не выписанного) столкновительного члена в уравнении (9), то А. А. Власовым он считался малым и принимался в форме Ландау (5). Однако, оставаясь в рамках приближения Больцмана, обрезание взаимодействия, по его мнению, следовало делать не на дебаевском радиусе, а на длине порядка среднего расстояния между электронами. Поэтому кулоновский логарифм L в теории Власова принимался в ?^-1 раза меньшим, чем (6). Это, на первый взгляд, несущественное отличие в действительности является принципиальным. Здесь надо отдать должное физическому чутью Ландау, который в этом моменте оказался полностью прав. Строго это, однако, было доказано лишь в конце 1950-х годов А. Ленардом и Р. Балеску, получившими интеграл парных столкновений с учетом поляризации плазмы и обосновавшими обрезание взаимодействия на дебаевском радиусе (см. учебник [7]). Последовательный же вывод уравнения (9) методом разложения по параметру (4) был дан, как уже отмечалось выше, в монографии Н. Н. Боголюбова [4]. Систему уравнений (9) — (11) в пренебрежении парными столкновениями в литературе принято называть системой уравнений Власова-Максвелла, а само кинетическое уравнение (9) — уравнением Власова. Часто последнее еще называют кинетическим уравнением для бесстолкновительной плазмы. Такое название, однако, следует считать неудачным, поскольку уравнение (9) даже без учета правой части учитывает дальние столкновения, а точнее — взаимодействие частиц посредством самосогласованных полей[51].

А. А. Власов на основе приведенной системы уравнений в пренебрежении парными столкновениями исследовал малые линейные колебания плазмы в отсутствие внешних источников и внешних полей. При это он показал, что в такой изотропной плазме существуют чисто продольные (в которых Е = — Ф) и чисто поперечные (в которых divE = 0) волны, и получил для них в общем виде дисперсионные соотношения, связывающие частоту и и волновой вектор k для возмущения вида exp(—i?t + ikr). Здесь приведем результаты анализа только чисто электронных продольных колебаний, поскольку именно они перекликаются с результатами работ Л. Д. Ландау.

Проведенный А. А. Власовым анализ дисперсионного уравнения для малых продольных колебаний изотропной электронной плазмы с максвелловской равновесной функцией распределения по скоростям показал, что в пренебрежении парными столкновениями частиц в области фазовых скоростей, превышающих тепловую скорость электронов, такие колебания не затухают и обладают следующим законом дисперсии:

где и ?_p — известная со времен И. Ленгмюра плазменная (электронная ленгмюровская) частота, а  — тепловая скорость электронов. Наличие спектра высокочастотных электронных колебаний с малой групповой скоростью

хорошо согласовывалось с известными экспериментальными результатами И. Легмюра и Л. Тонкса [8]. Подтверждением правильности теории А. А. Власова следует считать также то, что медленные продольные колебания в чисто электронной плазме оказались невозможными. Именно, в области v_? = ?/k << v_Te поле таких колебаний экранируется, причем размер экранировки определяется дебаевским радиусом, что согласуется с глубиной дебаевской экранировки поля статического заряда в плазме (7), полученной Л. Д. Ландау из чисто термодинамических соображений[52].

Вместе с тем вызывало некоторую неудовлетворенность отсутствие затухания колебаний, хотя в приближении самосогласованного поля взаимодействие частиц учитывалось. Сам А. А. Власов в этом ничего плохого не видел. Более того, парную столкновительную релаксацию, которая, согласно теории Л. Д. Ландау, определяется частотой электрон-ионных столкновений

он считал пренебрежимо малой, поскольку

Более существенным А. А. Власову представлялось дисперсионное расплывание. Оценивая исходя из формулы (12) время расплывания ?_g неоднородности с размером 1/k, находим, что

т. е. это время велико по сравнению с периодом колебаний. Причем роль столкновений определяется величиной ?_eff?_g, которая есть произведение малого параметра (15) на большой параметр (16).

4. В [2] Л. Д. Ландау резко отрицательно отреагировал на отсутствие в теории А. А. Власова диссипации малых колебаний при пренебрежении парными столкновениями. Считая уравнение Власова применимым для описания электронных колебаний плазмы, он тем не менее писал: «Власов искал решения вида exp(—i?t + ikr) и определял зависимость частоты ? от волнового вектора k. В действительности вообще не существует никакой определенной зависимости ? от k, и при заданном значении k возможны произвольные ?». Решая, как и А. А. Власов, начальную задачу для малых колебаний, Л. Д. Ландау приходит к тому же дисперсионному уравнению[53]

которое исследовалось А. А. Власовым. Здесь f₀(v) — равновесная функция распределения по скоростям, которая считается максвелловской и нормированной на плотность электронов n:

В уравнении (17) фигурирует несобственный интеграл Коши с полюсом подынтегрального выражения на действительной оси интегрирования при v = ?/k. Именно в понимании этого интеграла и возникло разночтение между А. А. Власовым и Л. Д. Ландау. А. А. Власов считал, что интеграл надо брать в смысле главного значения, и как результат получил решение уравнения (16) в виде незатухающих колебаний со спектром (12). Л. Д. Ландау же указал, что интеграл надо брать по контуру (правило обхода Ландау), соответствующему представлению полюса в виде

где P означает интеграл в смысле главного значения. Это приводит к появлению у частоты малой мнимой поправки (? ? ? + ?)

описывающей слабое затухание колебаний со спектром (12). Это затухание и стало впоследствии именоваться как «бесстолкновительное» затухание Ландау. Слово «бесстолкновительное» мы поместили в кавычки, поскольку в действительности уравнение Власова многочастичные (или коллективные) столкновения частиц учитывает; оно не учитывает лишь ближние парные взаимодействия. Для учета парных взаимодействий, как мы уже знаем, надо дополнить уравнение Власова в правой его части интегралом столкновений. Учет парных столкновений приведет к дополнительному затуханию ??, причем

где ?_eff дается выражением (14).

Столкновительное затухание (21), так же как и «бесстолкновительное» (20), является малым по сравнению с частотой колебаний (12), что обеспечивается неравенствами (15) и (16). Однако возникает вопрос о соотношении между ними, или, другими словами, о соотношении между столкновительным затуханием и «бесстолкновительным» затуханием Ландау. При условии

«бесстолкновительное» затухание преобладает над столкновительным, в то время как в обратном пределе преобладающим оказывается столкновительное затухание. Отсюда следует, что «бесстолкновительное» затухание Ландау необходимо учитывать при r_D << ? < r_D?L. Поскольку для реальных плазм кулоновский логарифм L ~ 10, видим, что область, где «бесстолкновительное» затухание Ландау для случая чисто электронных продольных колебаний является существенным, на самом деле очень узка. Более того, время «бесстолкновительного» затухания ~ 1/?, так же как и столкновительного ~ 1/??, как легко видеть, всегда намного больше времени дисперсионного расплывания, определяемого соотношением (16). В этом смысле на фоне дисперсионного расплывания эти затухания трудно заметить.

Отмеченные узость области существенности затухания Ландау, а также ее малость по сравнению с дисперсионным расплыванием имеют место только для термодинамически равновесной плазмы с максвелловской функцией распределения заряженных частиц по скоростям и только для чисто электронных продольных колебаний. В общем случае произвольных колебаний анизотропной и в особенности неравновесной плазмы затухание Ландау, а точнее «бесстолкновительная» диссипация, обусловленная полюсами подынтегральных выражений, возникающих при решении уравнения Власова и вычислении индуцированных в плазме зарядов и токов, оказывается существенной. Более того, она может даже менять знак и практически полностью определять поглощение и излучение электромагнитного поля в плазме. Отметим также, что столкновительная диссипация в полностью ионизованной плазме всегда намного меньше «бесстолкновительной», за исключением тех вырожденных случаев, когда последняя по каким-либо причинам оказывается малой. В этом суть плазмы как системы кулоновски взаимодействующих частиц, в этом сила приближения Власова для описания плазмы.

Сказанное стало физически очевидным после того, как была понята природа затухания Ландау, а следовательно, и всей «бесстолкновительной» диссипации. Эта природа явно видна из правила обхода полюса ? = kv, предложенного Ландау в виде соотношения (19). Из этого соотношения следует, что за диссипацию энергии в плазме ответственны частицы, для которых выполнено условие ? = kv, представляющие собой условие черенковского излучения и поглощения частицами электромагнитных волн. Очевидно, что вероятности излучения и поглощения поля заряженной частицей равны между собой, а поэтому какой из процессов — излучение (а следовательно, усиление поля) или поглощение (т. е. затухание поля) — преобладает, зависит от функции распределения частиц по скоростям в области v = ?/k. Если дf₀/дv < 0, как это имеет место в случае равновесного максвелловского распределения, то, как видно из уравнения (17), происходит поглощение поля и возникает затухание Ландау; если же в этой области имеет место обратное неравенство, то в плазме возможно усиление электромагнитной волны[54].

Уравнение Власова как уравнение с самосогласованным полем учитывает непосредственное взаимодействие заряженной частицы с полем, т. е. процесс излучения и поглощения как эффект первого порядка малости по параметру (4). В следующем же порядке по этому параметру появляется взаимодействие частиц между собой как процесс излучения поля одной частицей и его поглощения другой. Это уже есть парное столкновение частиц, учитываемое интегралом столкновений Ландау. Таким образом, обобщенное кинетическое уравнение Власова-Ландау представляет собой кинетическое уравнение для описания плазмы, учитывающее взаимодействие частиц не только в первом порядке по параметру (4), но и во втором.

5. Все изложенное выше фактически уже было сказано в работе А. А. Власова [3], которая, в свою очередь, была инициирована работой Л. Д. Ландау [1]. В работе А. А. Власова [3] было дано физическое обоснование не только кинетического уравнения с самосогласованным полем уравнения Власова, учитывающего главную часть кулоновского взаимодействия частиц в плазме, но также было четко указано, что интеграл столкновений Ландау учитывает эффекты следующего порядка малости по кулоновскому взаимодействию частиц. Более того, А. А. Власов полагал, что кинетическое уравнение с самосогласованным полем обязательно должно быть дополнено интегралом столкновений Ландау, чтобы правильно описать затухание колебаний со временем. Нетривиальные решения однородной системы уравнений Власова-Максвелла вида плоской волны существуют, по мнению А. А. Власова, при определенной связи действительных ? и k, которая находится из дисперсионного уравнения. Таким образом, А. А. Власов впервые ввел в кинетической теории колебаний плазмы понятие дисперсионного уравнения и нашел его решение в виде ? = ?(k) для продольных колебаний. В свою очередь Л. Д. Ландау правильно указал на неполноту анализа малых колебаний, проведенного А. А. Власовым. При этом он показал, что даже в «бесстолкновительном» приближении малые начальные возмущения могут затухать со временем. Природа этого затухания связана с черенковским излучением и поглощением волн заряженными частицами плазмы. Найденное для случая равновесной максвелловской плазмы затухание продольных электронных колебаний по праву получило название затухания Ландау. Таким образом, работа Л. Д. Ландау [2] как бы завершила развитие физических основ кинетической теории А. А. Власова, указав на особенности решения введенного им кинетического уравнения. Математическое же обоснование кинетическая теория Власова получила, как уже отмечалось выше, в монографии Н.Н. Боголюбова [4]. В этой монографии Н. Н. Боголюбовым, с одной стороны, были разработаны методы получения кинетических уравнений в случае системы нейтральных частиц, сильно взаимодействующих между собой при тесных сближениях, но в среднем находящихся на расстояниях, больших характерного радиуса взаимодействия (уравнение Больцмана). С другой, им было обосновано кинетическое уравнение и в случае системы кулоновски взаимодействующих частиц, когда радиус взаимодействия намного больше среднего расстояния между частицами, и по этой причине средний потенциал взаимодействия намного меньше средней кинетической энергии частиц (уравнение Власова-Ландау). Таким образом, в этой монографии обоснованы как уравнение Больцмана, так и уравнение Власова с интегралом столкновений Ландау. Мы не будем здесь излагать суть этого обоснования, оно носит во многом математический характер и к тому же изложено во многих монографиях и даже учебниках по статистической физике газов и плазмы. Кроме того, насколько нам известно, на эту тему Ю.Л. Климонтовичем подготовлен обзор в «УФН», посвященный 50-летию публикации работы Л. Д. Ландау [2], и, естественно, проблемы обоснования кинетической теории плазмы в этом обзоре занимают центральное место.

Таким образом, монография Н. Н. Боголюбова поставила как бы финальную точку, дав строгое математическое обоснование кинетической теории плазмы и газа уже в 1946 г. В этой связи вызывает недоумение появление в 1949 г.[55] работы [5], резко критиковавшей А. А. Власова, причем, по существу, необоснованно. В особенности необоснованна критика части, касающейся кинетической теории плазмы. В этой работе ничего не говорится о монографии Н. Н. Боголюбова [4]. Это непонятно, поскольку к тому времени фундаментальная монография Н. Н. Боголюбова, относящаяся непосредственно к кинетической теории плазмы, получила признание в нашей стране и часто цитировалась в литературе. Еще больше удивляет отказ редакции «ЖЭТФ» в публикации ответа А. А. Власова, который вынужден был опубликовать его в ведомственном журнале [6], в то время мало кому известном и мало читаемом. А ведь в этом ответе затронуты весьма глубокие проблемы и, в частности, проблемы описания плазмы как сплошной среды, в которой средний радиус взаимодействия частиц намного превосходит среднее расстояние между ними, и в этом смысле она больше напоминает жидкость либо твердое тело[56]. Эти мысли еще не до конца поняты научной общественностью. Вместе с тем, судя по примечанию редакции к статье [5], ее авторам был показан ответ А. А. Власова, и, более того, при окончательной редакции своей статьи авторы этот ответ учли.

Что касается заслуг А. А. Власова в создании кинетической теории плазмы, то они широко признаны всей мировой научной общественностью, которая и утвердила в научной литературе название кинетического уравнения с самосогласованным полем как уравнения Власова. Ежегодно в мировой научной печати публикуются сотни и сотни работ по теории плазмы, причем покрайней мере в каждой второй произносится имя А. А. Власова.

Признанием его заслуг является и присвоение ему в 1970 г. Ленинской премии «За цикл работ по теории плазмы».

Авторы признательны Ю.Л. Климонтовичу, Л. С. Кузьменкову и А. М. Игнатову за неоднократное обсуждение затронутых в статье вопросов, а также рецензенту за справедливые замечания.

Литература

1. Ландау Л. Д. // ЖЭТФ. 1937. 7. С. 203 (Landau L. D. // Phyz. Zs. Sowjet. 1936. 10. P. 154).

2. Ландау Л. Д. // ЖЭТФ. 1946. 16. С. 574 (Laundau L. D. // J. Phys. USSR. 1946. 10. P. 25).

3. Власов А. А. // ЖЭТФ. 1938. 8. С. 291.

4. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.: Гостехиздат, 1946.

5. Гинзбург В. Л., Ландау Л. Д., Леонтович М. А., Фок В. А. // ЖЭТФ. 1949. 16. С. 46.

6. Власов А. А. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1949. № 3–4. С. 63.

7. Александров А. Ф., Богданкевич Л. С., Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1988.

8. Langmuir I., Tonks L. // Phys. Rev. 1929. 33. P. 1995.

9. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В. и др. Электродинамика плазмы. М.: Физматгиз, 1974.