ГЛАВА IV НАУЧНЫЕ ЗАСЛУГИ ЭЙЛЕРА

ГЛАВА IV

НАУЧНЫЕ ЗАСЛУГИ ЭЙЛЕРА

“Письма к немецкой принцессе”. – Мысли Эйлера о логике, о вопросах нравственности и об измерении протяжений. – Общий характер заслуг Эйлера в области прикладной и чистой математики. – Сравнение Эйлера с Вольтером

Во время пребывания Эйлера в Пруссии к нему особенно тепло относился маркграф Бранденбург-Шверинский. К дружбе последнего присоединялось еще и чувство благодарности: Эйлер давал уроки дочерям маркграфа. Эта благосклонность не прекратилась и с отъездом Эйлера в Россию; во время приезда своего в Петербург маркграф застал Эйлера в постели и долго беседовал с ним, не выпуская руки Эйлера из своей и держа на коленях любимого его внука, с которым дед с удовольствием занимался математикой. Старшей дочери маркграфа Эйлер и посвятил свои письма, относящиеся к различным предметам физики и философии; он писал их в то время, когда гостил в семействе маркграфа в Магдебурге, и издал вскоре по возвращении своем в Петербург. Это единственное сочинение Эйлера, доступное всем, нисколько не посвященным в тайны математики, но представляющее интерес и для ученых вследствие глубоких и ясных мыслей, рассеянных по всему сочинению. Эйлер, видно, и сам дорожил этим сочинением как единственной беседой не с одними математиками, а просто с людьми, и, может быть, оно было также дорого ему по воспоминанию. Есть основание предполагать, что Эйлер с большим удовольствием занимался с обворожительной принцессой; ему так хотелось посвятить эту головку в тайны науки. Он со свойственным ему глубокомыслием обдумал план того, что можно назвать общим образованием. Все общедоступное в науке, философии, религии и нравственности изложил он в этих письмах с большою легкостью. Племянница Фридриха Великого отличалась живою любознательностью, схватывала все очень быстро, но у нее никогда не было времени заниматься, что заставляло Эйлера очень страдать, как видно из его писем.

В этом сочинении, которое сам Эйлер предназначал для публики, говорится о бесчисленном множестве предметов; один перечень их мог бы занять несколько страниц. Мы остановимся, разумеется, только на некоторых из них; так, в первой книге первые страницы посвящены уяснению понятия протяжения, скорости звука и музыки, затем говорится о свете, о зрении и строении глаза. О законе всемирного тяготения, открытом Ньютоном, о морских приливах и отливах, о монадологии Вольфа. Об отношении души к телу. О явлениях естественных. О лучшем из миров и происхождении всех зол. Затем следуют размышления: о состоянии души после смерти; об идеалистах, эгоистах и материалистах. О совершенстве языка. О силлогизме. О нравственных и физических страданиях. Об истинном назначении человека. Обращение грешников. О чудесах человеческого голоса и так далее.

Второй том писем отличается меньшим разнообразием предметов; в нем говорится преимущественно 6 вопросах физики, об электричестве и магнетизме.

Это сочинение, хотя и предназначалось немецкой принцессе, было написано Эйлером по-французски. Французы, разумеется, находят в нем много несвойственных их языку оборотов, но все же из него видно, что Эйлер свободно владел языком; вероятно, он выучился ему в доме Бернулли еще в бытность свою в Швейцарии.

Эти письма к немецкой принцессе имеют важное значение для истории науки; они представляют очерк состояния наук в то время, набросанный мастерскою рукой.

Мы познакомим читателя с изложением Эйлера в двух-трех отрывках.

В первом письме он говорит:

“Теперь я буду иметь честь беседовать с Вашею Светлостью об истинном основании всех наших познаний, посредством которых мы убеждаемся в непреложности всех нам известных истин. Требуется многое, чтобы убедить нас в истинности того, что говорят нам наши чувства; очень часто они обманывают нас и представляют действительность в искаженном виде. Благоразумный человек должен употребить все зависящие от него усилия, чтобы защитить себя от заблуждения, хотя это и не всегда ему удается.

Все сводится к верности доказательств, посредством которых мы убеждаемся в истинности чего-либо, поэтому, безусловно, необходимо быть в состоянии судить о верности доказательств и удостоверяться в том, достаточны ли они для того, чтобы нас убедить. Замечу прежде всего, что первоначальные истины нашего знания относятся к трем различным классам: истины, основанные на чувствах, истины, доказанные рассуждением, и истины, принятые на веру”.

Затем следует уяснение различия этих трех родов истин и их значений. Это простое изложение начал логики и теперь могло бы служить введением в нее для начинающих. Как видно, Эйлер хорошо умел стать в положение последних и говорить с ними языком совершенно для них понятным. Мы не встречаем в его изложении никаких мудреных слов, какими обыкновенно изобилуют даже самые краткие трактаты логики.

Очень часто думают, что общедоступные сочинения должны отличаться большою краткостью. Это, разумеется, верно, но краткость в данном случае не есть главное: она иногда еще более затрудняет понимание. То время, к которому относятся письма Эйлера, не было благоприятным для философии. Философия Канта только еще нарождалась. В Англии царствовали эмпиризм и скептицизм; Франция находилась во власти Вольтера, который являлся каким-то воплощенным духом отрицания и сомнения. Ньютон совершенно подорвал влияние Декарта. Философия Лейбница завяла в изложении Вольфа, который придал ей много формальности и лишил ее жизни. Между тем, новое время нуждалось и в новой философии. В письмах Эйлера к немецкой принцессе живо отражается картина кризиса философии того времени. Эйлер выступает смелым противником Вольфа, остроумно опровергает монадологию Лейбница, но не создает сам ничего нового в этой области. Замечательно, что в этой философской полемике Эйлер проявил много страстности и даже пристрастия. Мы не будем излагать монадологии Лейбница. Для того чтобы объяснить себе отношение к ней Эйлера, достаточно знать, что на вопрос, в каком отношении находится к миру монад вмешательство власти Божией, философы отвечают, что последнее весьма ограничено. Этим обстоятельством и обусловливается страстность, с какою нападал на нее Эйлер, хотя самое нападение имело, бесспорно, свое логическое основание.

В мыслях Эйлера, относящихся к логике, замечательны его теория восприятия внешних впечатлений и возражения против крайнего идеализма. 29-е письмо Эйлера начинается следующими словами: “Я искренне желаю, Ваша Светлость, дать Вам в руки необходимые орудия для того, чтобы разбить идеалистов и доказать существование реальной связи между нашими представлениями и предметами, их вызывающими; но чем более я думаю обо всем этом, тем глубже убеждаюсь, что не в силах сделать многого”.

Ум Эйлера был не склонен к метафизике и к философии. В тех частях, где необходимы проницательность и точность, он превосходен, но у него недостает цельности и глубины; последнее обусловливается, по всей вероятности, тем, что он и занимался этими предметами в редкие часы своего досуга.

Перейдем к изложению воззрений Эйлера на вопросы нравственности, которой также отведено большое место в его письмах. Здесь благочестие Эйлера выступает во всей своей силе, совершенно вытесняя строгого математика; он говорит об отношении души к телу более чем наивно. Как в практической жизни, так и в теории Эйлер на вопросы нравственности смотрел исключительно с точки зрения религии Кальвина. В жизни это придавало его поступкам, как мы видели, трогательный, возвышенный характер, а в теории это связывало ему руки. В доказательство наших слов приведем несколько строк из 113-го письма:

“Я надеюсь, – пишет Эйлер, – у Вашей Светлости не останется никаких сомнений относительно важного вопроса: каким образом все дурное в этом мире совместимо с добротою Создателя? Решение этого вопроса прямо основано на истинном назначении человека и других существ, одаренных разумом, существование которых не ограничивается этой жизнью. Когда люди теряют из виду эту истину, они не могут найти выхода; если бы люди были сотворены только для этой жизни, то невозможно было бы совместить страдания с благостью Божией”.

Далее находим убеждения, основанные на глубокой вере в предопределение. Эйлер утверждает, например, следующее:

“Злой человек не может нам сделать вреда, если Бог того не захочет. Последствия злых поступков находятся не во власти людей. Все совершается по предначертанию Бога: каждый человек в каждую минуту своей жизни поставлен в наилучшие условия. Счастлив тот, кто это понимает и умеет ими как следует пользоваться! Такое убеждение сопровождается для нас самыми ценными последствиями: оно порождает в нас бесконечную любовь к Богу, веру в Промысел и самую снисходительную любовь к своему ближнему”.

Рассуждения о нравственности и философии занимают меньшую часть писем Эйлера к немецкой принцессе; большая часть их относится к предметам физики. Здесь Эйлер начинает с основных понятий, с протяжения и со скорости. Мы приведем его первое письмо; оно важно для нас еще и потому, что объясняет само происхождение этого сочинения.

“Мои намерения продолжать с Вами занятия геометрией встречают новые препятствия; это составляет для меня истинное горе, но я хочу восполнить пропуски своими письмами, насколько это возможно по сущности предмета. Я сделаю попытку уяснить Вашей Светлости истинное понятие о величине, разумея и самые малые и самые большие протяжения, которые мы находим в мире действительности. Прежде всего, для этого необходимо выбрать какую-нибудь хорошо известную нам величину, например, фут. Эту раз выбранную меру мы всегда должны иметь перед своими глазами, она может дать нам ясное понятие обо всех величинах как о самых больших, так и о самых малых; относительно первых возможно определить, сколько они содержат в себе футов, относительно вторых – какую часть фута они составляют. Потому что, имея представление о футе, мы знаем и его половину, его четверть и двенадцатую часть, называемую дюймом; сотая и тысячная части этой величины так малы, что их трудно различить глазом. Однако нужно принять во внимание, что существуют организмы не более такой величины, и между тем у последних есть члены, в них течет кровь и внутри их живут еще организмы несравненно меньшие, которые относятся к ним так, как они к нам.

Таким образом, одна десятитысячная часть фута, недоступная нашему глазу, может быть значительно больше целого организма, которому она казалась бы, если бы он мог понимать, огромной величиной. Перейдем, однако, от этих малых величин, в которых теряется ум наш, к очень большим величинам. Вашей Светлости известна длина мили; от Берлина до Магдебурга восемнадцать миль; миля заключает в себе 24 тысячи футов. Ею пользуются для измерения значительных расстояний на земле для того, чтобы избежать больших чисел, которые получились бы при выражении их с помощью фута. Таким образом, когда говорят, что Магдебург отстоит от Берлина на 18 миль, то это вызывает более ясное представление, чем слова “на 430 тысяч футов”. Точно так же получается более точное представление о величине всей Земли, когда говорят, что окружность ее равняется 5400 милям. Так как Земля имеет вид шара, то диаметр его равняется 1720 милям, это дает нам верное понятие о диаметре Земли, которым пользуются для выражения расстояний между небесными светилами. Из тел небесных ближайшее к нам – Луна; она отстоит от Земли на 30 диаметров, что составляет 51600 миль, или же 1238400000 футов, но 30 диаметров дают более ясное представление о расстоянии.

Расстояние Солнца от Земли в 300 раз (приблизительно) больше расстояния от нас Луны, и когда его выражают числом 9000 диаметров, то дают более ясное о нем представление, чем прибегая к милям и футам. Вашей Светлости известно, что Земля совершает свой путь около Солнца в период года. Но существуют другие небесные тела, также обращающиеся около Солнца и находящиеся от него в больших и меньших расстояниях, называемые планетами. Другие же видимые нами звезды, исключая кометы, называются неподвижными. Расстояния их от нас несравненно больше расстояния Солнца и, разумеется, весьма различны по своей величине; этим объясняется то, что одни из светил кажутся больше, чем другие. Но из неподвижных звезд мы видим только ближайшие к нам, невидимые же нами находятся от нас на расстояниях неизмеримо больших. При этом следует также принять в расчет, что вся наша звездная система составляет только очень малую часть всего мира. И все это есть создание всемогущего Бога, который одинаково управляет как самыми малыми, так и самыми большими”.

От понятия о величинах Эйлер переходит к понятию скорости, затем к теории звука и музыке как предмету, наиболее близкому принцессе.

В заключение приведем мнение об этих письмах из похвальной речи Кондорсе. Он говорит о них следующее: “Принцесса Ангальт-Дессауская, племянница прусского короля, просила Эйлера заняться с нею физикой; эти уроки были созданы Эйлером под именем Писем к немецкой принцессе. Этот труд представляет нечто весьма ценное по той ясности, с которой изложено все самое главное и важное из области механики, астрономии, оптики и теории звука. Что касается тех мыслей Эйлера, которые относятся к философии, они скорее остроумны, чем глубоки”.

Познакомив читателя с единственным популярным трудом Эйлера, обратимся к той области, в которой он достиг истинного величия, причем постараемся выяснить здесь только общий характер научной деятельности Эйлера. Мы говорили уже, что Эйлер был чистокровный математик; ему ставят в упрек, что он иногда, увлекаясь вычислением, рассматривал вопросы механики и физики как случаи для приложения математики и предавался занятию, к которому у него была преобладающая страсть. Другие известные ученые часто обращали внимание Эйлера на то, что он недостаточно строго относится к физическим гипотезам. Нельзя не сознаться, что упреки эти иногда имели некоторое основание: Эйлер не только как философ, но и как физик ниже Эйлера-математика. Однако вместе с тем бесспорно, что труды Эйлера изобилуют самыми разнородными, в высшей степени полезными приложениями анализа к вопросам физики, механики и астрономии. Анализ – свое славное орудие – Эйлер хотел сделать всеобщим. Дальнейшие успехи математических наук неминуемо должны были бы со временем произвести этот переворот. Но он совершился на глазах Эйлера его же собственными усилиями. Эйлер часто исчерпывал анализ, с нечеловеческими усилиями извлекая из него все возможное для решения какого-нибудь вопроса, который легко можно было бы найти при помощи изучения физических условий. Многие вопросы решил бы он тогда легче и проще, но переворота в математике не совершил бы.

Трактат аналитической механики, вышедший в 1736 году, представляет собой первый капитальный труд, где анализ прилагается к науке о движении. Множество новых взглядов, щедро рассеянных в этом сочинении, удивило бы всех математиков, если бы они не были подготовлены работами Эйлера, относящимися к отдельным частям этого предмета.

Задачу о дрожащих струнах и другие, относящиеся к распространению звука, Эйлер также подчинил анализу посредством новых способов, которыми он же и обогатил высшую математику. Теория движения жидкостей, им созданная, поразила всех своей глубиной и ясностью. Все задачи физической астрономии того времени решены при помощи аналитических методов, изобретенных Эйлером. Его теория движения Луны представляет собой образец простоты и точности. До Эйлера в астрономии употребляли исключительно геометрические методы. Он первый почувствовал необходимость прибегнуть к помощи анализа и множеством примеров доказал плодотворность этого.

Эйлер был творцом науки мореплавания. Первая мысль об этом явилась у него при чтении мемуара Лакруа. Он занимался вопросом о равновесии кораблей, удачи воодушевили его и он принялся за обширный труд, который был издан нашей Академией наук. В этом сочинении, в стройном порядке, изложена теория равновесия и движения плавающих тел. Но общие принципы в практическом отношении давали немногое: необходимо принимать в расчет форму плавающего тела; нужно не только уметь вычислять сопротивление и силы, необходимо знать, как уменьшать первое и увеличивать последние. Одним словом, здесь, как и всегда на практике, появляется множество затруднений, которые оставляет в стороне теория. Да и сама теория изложена у Эйлера языком малопонятным для техников того времени. Все это заметили Эйлеру по возвращении его в Петербург. К сделанным замечаниям он отнесся как нельзя более внимательно и, приноравливаясь к практическим требованиям, вновь изложил все сочинение. Это стоило ему многого труда, но он не вполне достиг своей цели. Остается жалеть, что ему приходилось тратить время на такие предметы, отрываясь от чистой науки, для которой он был создан.

В области теории вероятностей Эйлер сделал также весьма многое; мы упомянем здесь об его исследованиях, относящихся к таблицам смертности и к способам делать выводы с наибольшею точностью, о его методе брать среднее между всеми произведенными наблюдениями и так далее. Эйлер не пренебрегал также никакими работами, относящимися к пожизненным рентам, вдовьим кассам, сберегательным обществам и т.д.

Мы видим, что научные труды Эйлера весьма разнообразны и, так сказать, по степени своей важности разнородны; это обусловливается тем, что для Эйлера математика представляла решительно все, и цель жизни – предмет самого серьезного труда, – и средство приносить людям непосредственную пользу и развлечение. Когда он несколько уставал от трудных работ, то занимался легкими. Говорят, его любознательность доходила до того, что он занимался даже изучением истории и правил астрологии, хотя и не пользовался последней. Когда в 1740 году ему предложили определить по звездам судьбу Ивана-царевича, он предоставил это сделать придворному астроному.

Из того, что мы сказали, легко заключить, что главные заслуги Эйлера относятся к чистой математике; в этой области Эйлер был прямым преемником Бернулли и продолжателем школы Лейбница; он обратил все свои силы на усовершенствование высшей математики, удаляясь от геометрического метода учеников и последователей Ньютона. Он первый пришел к выражению условий задачи алгебраическими символами чисто дедуктивным путем. Весь вопрос сводится к вычислению и преодолению его трудностей, а это требует большого искусства и ловкости в обращении с формулами, уменья предвидеть и даже предчувствовать результаты, одним словом, особого математического таланта и виртуозности. Для этого надо любить математику для математики, то есть питать непреодолимую страсть к самому ее механизму. Эйлер был в этом отношении недосягаем, ум его был столь же глубок, сколь изобретателен. Что касается его производительности, то она была поистине изумительна, но мы уже о ней говорили.

Интегральное исчисление Эйлер нашел в самом младенческом состоянии; в то время не существовало в этом отношении никаких общих правил. Эйлеру принадлежит честь решения труднейших задач в этой области; они послужили фундаментом для будущего, и им присвоено название Эйлеровых интегралов. В третьем томе интегрального исчисления Эйлера мы находим тогда еще новый род математического анализа, а именно вариационное исчисление; оно было разработано Лагранжем, достойным преемником Эйлера. Лагранж и дал ему это название.

Титульный лист монографии Л. Эйлера по вариационному исчислению, 1744

Мишо говорит, что Эйлер занимает в математике такое же место, какое принадлежит Вольтеру в литературе. И Вольтер, и Эйлер работали с удивительной легкостью: оба оставили большое число сочинений. Все обращало на себя внимание Вольтера и вызывало какое-нибудь меткое замечание и остроумную мысль. Эту мысль он не выпускал из своих рук, не обработав ее до тонкости; он прилагал ее всюду, где только это было возможно; то же самое видим у Эйлера в области математики,– такую же непрерывную, кипучую деятельность ума; то и дело он изобретал какие-нибудь новые методы, обрабатывал до совершенства и извлекал из них всю возможную пользу. И Вольтер, и Эйлер подарили столько мыслей своим современникам, указали так много новых путей, что эти мысли и эти пути остались в наследие следующему веку. Этим, впрочем, и ограничивается сходство между Эйлером и Вольтером; если мы пойдем дальше, то найдем только глубокое различие. Мы даже думаем, что строгий кальвинист Эйлер, не отступавший ни на шаг от своей религии и не внесший в нее ничего индивидуального, не остался бы доволен тем, что мы его сравниваем в каком-нибудь отношении со свободомыслящим Вольтером: свободомыслие в религии, как мы видели, было единственным предметом, которым возмущалась кроткая и спокойная душа Эйлера.