Парадокс гиперболоида

Парадокс гиперболоида

Преподаватель математики 5-й Петербургской классической гимназии Виталий Львович Розенберг рассказывал на уроке о жизни и трудах Пифагора. Он привел доказательство его знаменитой теоремы, а под конец поведал легенду о ста быках, якобы принесенных Пифагором в жертву богам как благодарность за ниспосланное ему свыше откровение.

Когда на следующем уроке Виталий Львович спросил, кто желает доказать теорему, к доске вышел гимназист Владимир Шухов. Предоставив ему возможность выполнить мелом рисунок, известный многим поколениям учащихся под названием «пифагоровых штанов», преподаватель углубился в классный журнал. Подняв через несколько минут голову, он обнаружил на доске незнакомый, нисколько не соответствующий учебнику чертеж и под ним короткий, в одну строчку, вывод. - Я попробовал доказать теорему Пифагора другим, более простым способом,- пояснил не смущаясь гимназист.- Позвольте объяснить.

Выслушав Шухова, педагог вынужден был признать, что доказательство безупречно, однако объявил, что снижает балл «за нескромность и вольнодумство». Так в классном журнале появилась необычная для первого ученика четверка.

Не беремся судить, насколько точен этот рассказ, записанный в свое время И. Д. Вавицким, посвятившим многие годы собиранию материалов о жизни и творчестве почетного академика В. Г. Шухова. И уж, конечно, вряд ли мы когда-нибудь узнаем, каков был ход рассуждений Володи Шухова. По так ли это существенно? Разве историкам науки известно доподлинно, каким именно образом малыш Карл Фридрих Гаусс, будущий «принцепс математикорум» (король математиков) мгновенно решил в уме трудную задачу и ошеломил учителя, записав на своей грифельной доске правильный ответ?

Тысячи и тысячи молодых людей добросовестно штудировали курс аналитической геометрии, прилежно записывали уравнения, которыми определяются направления линий, образующих однополостный гиперболоид. Но надо быть Шуховым, чтобы увидеть в бесстрастных очертаниях этой фигуры что-то иное, задуматься над ее особенностью, которую, правда, не сразу обнаружишь зрительно.

Дело в том, что поверхность гиперболоида может быть создана не только вращением кривой линии - гиперболы - вокруг некоторой оси. Она может быть составлена также из двух семейств прямых линий. Именно это свойство положено Шуховым в основу нового вида сетчатых конструкций, в которых пространственный каркас, имеющий криволинейные очертания, образован из одинаковых прямых элементов. Вот почему в современных учебниках по аналитической геометрии не только рассматриваются уравнения, определяющие системы образующих однополостный гиперболоид линий, но и воздается должное заслугам Владимира Григорьевича Шухова, которому принадлежит идея использования гиперболоида в строительной технике.

В шуховских башнях металлические элементы расположены так же, как прямолинейные образующие однополост-ного гиперболоида вращения. Здесь Владимир Григорьевич верен принципу, уже воплощенному им в сетчатых арочных покрытиях: части конструкции не должны различаться по функциям восприятия усилий.

До появления шуховских башен высотные металлические конструкции состояли обычно из стоек, взаимно соединенных связями. Задача этих связей - образовать систему, воспринимающую горизонтальные ветровые нагрузки, обеспечить жесткость башни и устойчивость ее элементов. Как правило, связи не участвуют в передаче вертикальных нагрузок, а стойки лишь частично «работают» на горизонтальные ветровые нагрузки. Вот и получается: прочность связей, требующих по условиям жесткости металла больших сечений, используется далеко не в полной мере.

Проектируя свои конструкции, Шухов всегда беспощаден к элементам, которые, образно говоря, не хотят разделить тяжесть труда с соседями потому, что это «не их дело». Для Владимира Григорьевича такие конструктивные элементы подобны кариатидам, притворно изнемогающим под тяжестью карниза или балкона. С самого начала надо помочь конструкции сбросить лишний вес, избавить ее от «ожирения». Можно сказать, что в шуховских конструкциях основные элементы обеспечены, помимо основной должности, еще и «совместительством». Так, в ги-перболоидной башне Шухова ее наклонные ноги работают как на горизонтальные, так и на вертикальные нагрузки. Отпадает надобность в установке внутри башни каких-либо связей.

Ажурная башня, состоящая из пересекающихся прямолинейных деревянных брусьев, или железных труб, или угольников, расположенных по производящим тела вращения, склепываемых между собой в точках пересечения и, кроме того, соединенных горизонтальными кольцами,- так примерно Шухов определяет суть конструкции гиперболоидной башни в своей заявке. Главное, что примечательно в этой предельно краткой и деловитой формулировке - это указание на прямолинейность элементов, пересекающихся между собой и образующих конструкцию башни.

Как опытный производственник, не раз имевший дело с прямолинейными прокатными профилями, Владимир Григорьевич хорошо знал, что такие конструкции просты в изготовлении и удобны в монтаже. Гибка деталей, имеющих криволинейные очертания,- дело трудоемкое, требующее специальных шаблонов. Усложняется и сборка изогнутых элементов.

Когда глядишь на легкие, плавно округленные и сужающиеся кверху гиперболоидные башни, с трудом верится, что они - если не считать колец жесткости - целиком сделаны из прямолинейных элементов. Технологичность, как выразились бы мы сейчас,- тоже одно из решающих преимуществ шуховских конструкций.

История научных и технических поисков говорит, что открытию, изобретению обычно предшествует их смутный прообраз, витающий перед мысленным взором автора. От неясной, скорее предчувствуемой догадки к логически безупречной идее, к завершенному чертежу, к законченному математическому оформлению - таков зачастую ход творческого процесса.

Так ли рождалась идея гиперболоидных конструкций? Вот что рассказывал об этом сам Шухов (запись Г. М. Ковельмана):

«В музыке народные мотивы давно уже считаются признанными источниками замечательных произведений. Все с наслаждением слушают, например, «Камаринского» Глинки. А вот мы, люди техники, еще не осознали возможности черпать материал из народной копилки, куда веками складываются образцы мастерской выдумки, смекалки.

О гиперболоиде я думал давно, шла какая-то глубинная, немного подсознательная работа. Но все как-то вплотную к нему не приступал. И вот однажды прихожу раньше обычного в свой кабинет и вижу: моя ивовая корзинка для бумаг перевернута вверх дном, а на ней стоит довольно тяжелый горшок с фикусом. И так, знаете, ясно встала передо мной будущая конструкция башни. Уж очень выразительно на этой корзинке было показано образование кривой поверхности из прямых прутков.

– Маша,- говорю домработнице,- ты пока пыль с этажерки сотрешь, не провалишь корзинку?

– С чего бы ей провалиться? - уверенно отвечает она.- Эта корзина и не такое выдержит.

Нам в Высшем техническом училище только на лекциях по аналитической геометрии рассказывали немного о гиперболоидах вращения. Конечно, для тренировки ума, но никак не для практического их использования. А, оказывается, эти самые гиперболоиды давно у нас в деревнях изготовляются! Занимаясь теорией расчета гиперболоидальных сетчатых башен, я часто вспоминал урок наглядного обучения, данный мне Машей. Еще, помню, во времена Нижегородской выставки, если кто скажет мне, бывало, что никогда такой водонапорной башни не видел, всегда направлял я в кустарный отдел - плетеные корзины смотреть».

Не породил ли этот, очень занимательный сам по себе, рассказ несколько упрощенное представление о том, как родилась и формировалась идея гиперболоидных сооружений? Ивовая корзинка для бумаги начинает играть роль, чуть ли не аналогичную Ньютонову яблоку или ванне Архимеда. Другими словами, роль счастливого случая, без которого не бывать открытию. Не поставь Маша в тот день горшок с фикусом на перевернутую ивовую корзинку, не было бы и гиперболоидных башен!

Люди, хорошо знавшие Шухова, единодушно отмечают его особое умение понятно излагать самые трудные технические вопросы. Владимир Григорьевич часто сопровождал свои объяснения демонстрацией несложных моделей, сделанных из проволоки, дерева или просто из бумаги, и всегда достигал цели.

– Видите, как это просто,- обычно говорил он под конец.

Нельзя ли предположить, что пресловутая ивовая корзинка также служила Шухову своего рода наглядным пособием, помогавшим доходчиво объяснять свою идею? Не будем забывать и об исключительной скромности Владимира Григорьевича, который иной раз предпочитал лучше отмолчаться или отделаться шуткой, чем упоминать о своих личных заслугах, об авторских правах.

Шухов впервые превратил математическую абстракцию гиперболоида в практическую конструктивную форму. Встает вопрос: можно ли серьезно говорить о гиперболоиде только как о математической отвлеченности, если эта фигура давным-давно воплощена в обыденной корзинке?

Полемизируя с Дюрингом, который считал возможным выводить все математические понятия непосредственно из головы, минуя практический опыт людей, Ф. Энгельс писал: «Представления о линиях, поверхностях, углах, многоугольниках, кубах, шарах и т. д.- все они отвлечены от действительности, и нужна изрядная доза идеологической наивности, чтобы поверить математикам, будто первая линия получилась от движения точки в пространстве, первая поверхность - от движения линии, первое тело - от движения поверхности и т. д. Даже язык восстает против этого. Математическая фигура трех измерений называется телом, корпус солидум по-латыни, следовательно - даже осязаемым телом, и, таким образом, она носит название, взятое отнюдь не из свободного воображения ума, а из грубой действительности».

Да простит нас читатель за длинную цитату. Но, согласитесь, в ней очень ярко показана историческая связь чистых абстракций, вроде бы независимых от реальной действительности, с практическим опытом человека.

Шухов возвращает отвлеченному понятию, давно утратившему связь с реальностью и обитающему лишь на страницах учебников, практический смысл, воскрешает его к новой жизни. И это нисколько не умаляет значение его изобретения. Рассказ о внезапном рождении идеи при виде пресловутой корзинки, как нам кажется, не надо понимать слишком уж буквально. «Идеи приходят, когда они этого захотят сами, а не тогда, когда мы ждем их прихода,- говорит Д. Пойа в своей книге «Математическое открытие»,- ждать идею - то же, что ждать выигрыша в лотерее». Не правильнее ли полагать, что случай с корзинкой - лишь частность в сложном сплетении фантазии, интуиции, в той игре ассоциаций, которая предваряет строго логичную работу мысли?

Многое свидетельствует о том, что идея гиперболоидных башен не появилась на свет сразу, в готовом виде, подобно Минерве, которая родилась из головы Юпитера в полном воинском вооружении. Связь этого изобретения с предыдущими работами Владимира Григорьевича очевидна. Гиперболоид инженера Шухова - новый шаг в развитии плодотворной идеи сетчатых пространственных конструкций.

Вполне закономерен следующий этап развития сетчатых покрытий Шухова - гиперболоидная башня. В январе 1896 года Владимир Григорьевич заканчивает расчет этой оригинальной высотной конструкции и подает заявку на выдачу привилегии. В мае того же года гиперболоидная башня Шухова уже высится над выставочным городком, привлекая всеобщее внимание необычной формой, гармоничной легкостью стальных сплетений.