Глава 3. СИММЕТРИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ Симметрии, двойственность и тройственность

Глава 3. СИММЕТРИИ И УСТОЙЧИВОСТЬ Симметрии, двойственность и тройственность

В главе "Пространства и группы" я упоминал принцип двойственности проективной геометрии и обобщения этого принципа, предложенные Э.Картаном, в том числе принцип тройственности, а также группы, которые И.М.Гельфанд предложил называть двойственными и тройственными по Картану. Обобщения принципа двойственности, предложенные Картаном, связаны с двусторонней и трехсторонней симметриями диаграмм Дынкина соответственных групп Ли.

Многие мои работы, начиная с докторской диссертации и работы 1949 г., помещенной в сборнике моих переводов работ Картана, посвящены образам симметрии различных пространств, образующим модели симметрических пространств Картана, определяемых двусторонними симметриями. Образы симметрии различных пространств изучались и многими моими учениками. В моей книге 2003г. совместной с М.П. Замаховским рассматриваются обобщения симметрических пространств, называемые периодическими пространствами. Эти пространства определяются k-сторонними симметриями при k >2.

Симметрии привлекали внимание математиков и философов еще в древности. Правильные многогранники, обладающие максимальной симметрией, были открыты пифагорейцами и играли особую роль в философии Платона, вследствие чего их часто называют "платоновыми телами". Платон считал, что атомы четырех греческих элементов имеют форму четырех правильных многогранников: атомы огня имеют форму правильного тетраэдра, атомы воздуха - форму октаэдра, атомы воды - форму икосаэдра, а атомы земли - форму куба. Форму пятого правильного многогранника - додекаэдра по мнению Платона имеет мир в целом, а на 12 гранях этого додекаэдра по его мнению изображены 12 знаков зодиака. Группа симметрии тетраэдра состоит из 24 элементов, группы симметрии октаэдра и куба - из 48 элементов, группы симметрии икосаэдра и додекаэдра - из 120 элементов.

Великий математик первой половины ХХ века Герман Вейль в своей книге "Симметрия" отметил, что изображения божеств, святых и священных животных в ассиро-вавилонском, древнегреческом, римском и средневековом искусстве всегда симметричны. Симметрия этих изображений указывает на то, что их авторы ощущали глубокую связь между божественным и симметричным.

Двойственность у пифагорейцев

Пары противоположных свойств играли важную роль в философии пифагорейцев. Аристотель писал о них в своей "Метафизике": "Пифагорейцы утверждают, что имеется десять начал, расположенных попарно: предел и беспредельное, нечетное и четное, единое и множество, правое и левое, мужское и женское, покоящееся и движущееся, прямое и кривое, свет и тьма, хорошее и дурное, квадратное и продолговатое".

Из этих пар противополижностей 1-я, 4-я,7-я и 10-я пары относятся к геометрии, 2-я и 3-я - к арифметике, 5-я - к биологии, 6-я - к механике, 8-я - к физике, 9-я - к этике. Пифагорейцы рассматривали все эти пары противоположностей вместе потому, что они не выделяли отдельных наук из единой универсальной науки.

В каждой паре противоположностей первую пифагорейцы считали совершенной, а вторую - несовершенной.

Пифагорейцы отождествляли единицы не только с точками, но и с душами неродившихся или умерших людей, а вещи, в том числе тела людей, отождествлялись с числами, поэтому пифагорейская пара противоположностей "единое и множество" по существу совпадает с парой "душа и тело".

Пара противоположностей "единое и множество" - такая же древняя, как пара "душа и тело". Первоначально это были два первых числа, впоследствии второе из этих двух "чисел" превратилось в число 2, и "чисел" стало три - 1, 2 и "много". Затем это новое "много" превратилось в число 3 и появился числовой ряд 1, 2, 3, 4, 5, 6, "много". Впоследствии и этот ряд расширился и последнее слово "много" превратилось в число 7. О том, что слово "семь" первоначально обозначало неопределенно большое количество, свидетельствуют русские пословицы "семь бед - один ответ", "у семи нянек дитя без глаза", "один с сошкой - семеро с ложкой", "семь раз отмерь, один раз отрежь". Позже такими числами, названия которых прежде обозначали неопределенно большое количество, стали 12 и 40. Числа 2, 3, 7, 12 и 40 и позже сохранили мистический характер, этим объясняется особая роль этих чисел во многих религиях и культурах.

Среди 7 "планет" древности - Солнца, Луны и пяти планет - имеются две пары, соответствующие пифагорейским противоположностям: Солнце и Луна, соответствующие "свету и тьме" и Марс и Венера, соответствующие "мужскому и женскому", которые часто обозначаются знаками этих планет. Если из 7 "планет" удалить эти две пары, мы получим "античную троицу" - отца - Кроноса-Сатурна, сына- Зевса-Юпитера и вестника богов - Гермеса- Меркурия. Античная троица значительно ближе к христианской, чем индийская троица Брахма - Вишну - Шива.

Симметричная и асимметричная двойственность

Из десяти пар противоположностей пифагорейцев шесть пар - 1-я, 2-я 4-я, 5-я, 8-я и 9-я симметричны, а другие четыре пары - 3-я, 6-я, 7-я и 10-я асимметричны.

Симметричными и асимметричными бывают и другие двойственности. Например, принцип двойственности проективной геометрии и все принципы двойственности Картана совершенно симметричны, а "двойственность по Картану", определенная Гельфандом, асимметрична. Асимметрична и двойственность между эллиптическим пространством с мнимым абсолютом и гиперболическим, псевдоэллиптическими и псевдогиперболическими пространствами с вещественными абсолютами: группа движений эллиптического пространства компактна, а группы движений остальных пространств некомпактны. Асимметрична и двойственность между эллипсом и "парой противоположных гипербол", которую подчеркивал Аполлоний, и между окружностью и равносторонней гиперболой, на которую мы обращали внимание, говоря об алгебраическом трактате Хайяма.

Симметричной является двойственность между замкнутыми и открытыми множествами в топологии, между операциями пересечения и объединения множеств в теории множеств, между конъюнкцией и дизъюнкцией в математической логике, и между аналогичными операциями во многих областях математики.

Примером двойственности в математике является сопоставление коммутативной группы и ее группы характеров. Характером коммутативной группы называется гомоморфное отображение этой группы в группу комплексных чисел единичного модуля. Характеры коммутативной группы сами образуют коммутативную группу. В случае конечных коммутативных групп группа характеров коммутативной группы G, как показал Г.Ф.Фробениус, изоморфна самой группе G и двойственнисть между группой и ее группой характеров симметрична. В случае бесконечных коммутативных групп группа G и ее группа характеров G* уже не изоморфны, но, как показал Л.С.Понтрягин, в случае, когда группа G компактна, группа G* дискретна, а в случае, когда группа G дискретна, группа G* компактна, и двойственность между компактными группами и их группами характеров асимметрична.

Двойственность в зороастризме и в учении "Инь-ян"

Пары противоположностей, аналогичные пифагорейским, имелись у персидских зороастрийцев и в китайском учении "Инь-ян".

Религия зороастрийцев была основана на борьбе доброго бога Ахура- Мазды (Ормузда) и злого бога Ахгра-Майню (Ахримана). С этими богами были связаны противоположности "свет и тьма", "Солнце и Луна", "тепло и холод", "добро и зло".

Учение "Инь-ян", на котором были основаны наука и образование в древнем и средневековом Китае, связано с противоположностями "солнечная погода и дождь", "весна-лето и осень-зима", "Солнце и Луна", "свет и тьма", "мужское и женское", "положительное и отрицательное", "небо и земля".

Возможно, что между пифагорейцами и древними персами имелись связи; o связях между древними персами и китайцами мы упоминали в предыдущей главе. Двойственность зороастризма, несомненно, определила двойственность "отца диалектики" Гераклита, который учился у зороастрийских жрецов.

Двойственность в Библии

Первая книга Библии "Бытие" начинается такими словами: "В начале сотворил Бог небо и землю. Земля же была безвидна и пуста, и тьма над бездною; и Дух Божий носился над водою. И сказал Бог: да будет свет. И стал свет. И увидел Бог свет, что он хорош ; и отделил Бог свет от тьмы. И назвал Бог свет днем, а тьму ночью". Мы видим, что согласно Библии сотворение мира было результатом воздействия Духа Божьего на материю, не имеющую формы - на воду. В результате появились противоположности - небо и земля, свет и тьма.

Далее, согласно Библии, Бог создал элементы, минералы, растения, животных.

В шестой день "сотворил Бог человека по образу Своему, по образу Божию сотворил его; мужчину и женщину сотворил их... И создал Господь Бог человека из праха земного, и вдул в лице его дыхание жизни, и стал человек душею живою".

Сотворяя человека Бог создал еще две противоположности - душу и тело, мужчину и женщину - Адама и Еву.

Двойственность у Платона

Вселенная Платона состояла из трех миров: 1) мира "идей", 2)"пространства", 3) мира "рожденных". Платон писал в "Тимее" : "Приходится признать во-первых, что есть тождественная идея, не рожденная и не гибнущая, ничего не воспринимающая в себя откуда бы то ни былo и сама ни во что не входящая, незримая и никак иначе не ощущаемая, но отданная на попечение мысли. Во-вторых, есть нечто подобное этой идее и носящее то же имя - ощутимое, рожденное, вечно движущееся, возникающее в некоем месте и внонь из него исчезающее, и оно воспринимается посредством мнения, соединенного с ощущением. В- третьих, есть еще один род, а именно пространство: оно вечно, не приемлет разрушения, дарует обитель всему рождающемуся, но самовоспринимается вне ощущения, посредством некоего незаконного умозаключения, и поверить в него почти невозможно. Мы видим его как бы в грезах и утверждаем, будто этому бытию непременно должно быть где-то, в каком- то месте и занимать какое-то пространство, а то, что не находится ни на земле, ни на небесах, будто бы и не существует".

Эти слова показывают. что Платон считал "идеи" вечными сущностями, "рожденные" - сущностями, которые возникают и исчезают, a "пространство" - пассивная масса, которая под действием "идей" порождает "рожденные". Платон называл "пространство" также "матерью рожденных ", отождествляя противоположность между "идеями" и "пространством" с парой противоположностей "мужское и женское" и подчеркивая тем самым активный, мужской характер "идей".

Двойственность у Аристотеля

Учение Платона об активных "идеях" и пассивном "пространстве" было развито Аристотелем, который писал в "Метафизике":"Существует ли что нибудь помимо составного, целого или нет (я имею в виду материю и то, что с ней соединено)? Если не существует, то ведь все имеющееся в материи поистине преходяще. А если существует, то это будет, надо полагать, форма, или образ. Так вот, в каких случаях она существует отдельно и в каких нет, это трудно определить, ибо в некоторых случаях ясно, что форма не существует отдельно, например у дома." В другом месте "Метафизики" Аристотель писал: "материя есть носитель энтелехии ".

Аристотель называл пассивное "пространство" Платона "материей" (hyle), a его активную "идею" - "формой" (morphe). Под словом "энтелехия" (entelecheia) он понимал устойчивость (английский переводчик "Метафизики"перевел это слово actuality). Аристотель применял термин en- telecheia в весьма широком смысле, относя его к любому виду материи, как и слова kinesis - "движение" и energeia - "энергия". Иногда Аристотель применял термин entelecheia и в смысле того, что обеспечивает устойчивость, например, в сочинении "О душе" он называет этим термином человеческую душу.

Идеи Платона и Аристотеля получили дальнейшее развитие в трудах Зенона Китийского и других стоиков. Стоики объединяли античные элементы воду и землю в понятие hyle - "материя", a oгонь и воздух - в понятие pneuma - "дыхание, дух". Pneuma стоиков очень близка к "форме" Аристотеля.

Двойственнисть и тройственность в христианстве

Новый Завет унаследовал от Ветхого Завета идею единого Бога, но дополнил его до Троицы, к Богу-отцу были добавлены Бог-сын и Святой дух. Двойственными элементами в христианстве являются Бог и дьявол, рай и ада, добро и зло; к раю и аду был добавлен третий элемент - чистилище. Добро и зло находятся в человеческой душе и тем самым древняя асимметрическая двойственность души и тела дополняется симметричной двойственностью добра и зла.

Двойственность в исламе

Мусульмане рассматривают свою священную книгу Каран как продолжение Библии и Евангелия. Это подчеркивается тем, что мусульмане считают основателя своей религии Мухаммада (Магомета) шестым пророком после Адама, Нуха (Ноя), Ибрагима (Абраама), Мусы (Моисея) и Исы (Иисуса Христа).

Ислам унаследовал у христианства учение о едином Боге (Аллахе) и дьяволе (Шайтане), учение о рае и аде и понятия добра и зла.

Омар Хайям писал о рае и аде: Нам с гуриями рай сулят на свете том И чаши полные пурпуровым вином. Красавиц и вина бежать на свете этом Разумно ль, если к ним мы все равно придем. Нам говорят муллы, что существует ад. Поверьте мне: они неправду говорят. Будь предназначен он для пьяниц и влюбленных, Давно бы опустел цветущий райский сад.

В "Трактате о бытии и долженствовании" Хайям рассматривает вопрос о необходимости зла в мире.

Двойственность в буддизме

Буддизм, который в настоящее время является самой распространенной религией в мире, первоначально был не религией, а философским учением. По этой причине буддизм - единственная религия, в которой отсутствуют понятия Бога, идеи загробного мира и бессмертия души. Буддизм был основан в Индии, но затем вытеснен индуизмом и получил распространение сначала в Персии и Средней Азии, откуда по "Великому шелковому пути" попал в Китай. В Персии и Средней Азии буддизм сосуществовал вместе с зороастризмом, после арабского завоевания обе религии были вытеснены исламом. Из Китая буддизм попал в Корею, Японию, Индокитай, где буддизм также сосуществовал с другими религиями, а также в Тибет, Монголию, Туву, Бурятию и Калмыкию, где буддизм стал основной религией.

Буддистские монастыри - "вихары" послужили образцом для мусульманских медресе, по образцу которых были созданы средневековые европейские университеты.

Буддисты заимствовали из древней индийской науки понятие "дхармы" - атома пространства, аналогичное понятиям античных атомистов и средневековых мутазилитов и превратили его в понятие элементов чувственного восприятия мира. Буддистская "дхарма" представляет собой единство физического и психического, вследствие чего буддисты отождествляют реальные предметы с ощущениями этих предметов. Крупнейший знаток индийской философии Федор Ипполитович Щербатской в книге "Центральная концепция буддизма и смысл слова дхарма" отмечал совпадение этой концепции буддистов с "новейшим позитивизмом" Э.Маха. Двойственность понятия дхармы является важнейшей особенностью буддизма.

Двойственность у Декарта

Учение Платона о том, что "рожденные", т.е. вещи, являются результатом воздействия "идей" на "пространство" получило развитие в "Принципах философии" Рене Декарта. Декарт также считал, что пространство совпадает с пассивной материей и пустого пространства не может быть. Роль платоновских "идей" у Декарта играют "души". Взаимодействие "душ" на пространство, по мнению Декарта, порождает вихри, определяющие движение устойчивых явлений.

Двойственность у Ньютона

Хотя название главного труда Исаака Ньютона "Математические принципы натуральной философии" очень близко к названию упомянутой книги Декарта, понятие пространства у Ньютона было совершенно противоположно понятию Декарта. Ньютон считал пространство "абсолютным"и совершенно независимым от материи. В "Математических принципах" Ньютон, основываясь на работах Кеплера и Галилея, разработал основы классической механики, общие для земных и небесных явлений. Поэтому Ньютон заменил три мира Аристотеля - физический, математический и божественный - двумя - физическим и божественным.

В своем 1-м законе механики Ньютон показал, что пифагорейская пара противоположностей "покоящееся и движущееся" должна быть заменена парой "движущееся по инерции и движущееся с ускорением". 2-й закон Ньютона связан с парой противоположностей "сила и ускорение". 3-й закон Ньютона связан с парой противоположностей "действие и противодействие". Одновременно с Г.В.Лейбницем Ньютон создал дифференциальное и интегральное исчисления, являющиеся математическим аппаратом классической механики.

Ньютон интересовался не только физическим миром, божественный мир интересовал его не меньше физического. Кроме сочинений по математике, механике и физике, Ньютон был автором многих сочинений по теологии, истории и алхимии. Труды Ньютона по алхимии изучала Бетти Джо Доббс, с которой я беседовал во время конгресса историков науки в Эдинбурге. Она писала, что в этих трудах Ньютон рассматривал "активный животворный алхимический агент", способный оживлять мертвую материю, который он, следуя алхимикам, называл "магнезией". Воздействие "магнезии" на материю аналогично действию на нее "формы" Аристотеля и "пневмы" стоиков.

Двойственность у Лейбница

Хотя математические работы Готфрида Вильгельма Лейбница были близки к работам Ньютона, философские труды Лейбница были ближе к работам Декарта. В своих книгах "Монадология" и "Новые опыты о человеческом разуме" Лейбниц писал, что пространство подобно жидкой материи, и что оно подвергается воздействию "монад", подобных душам. Слово "монада" (monas) Лейбниц заимствовал у пифагорейцев, это слово по-гречески означает "edinica", а пифагорейцы отождествляли единицы с душами. По мнению Лейбница монады порождают "предустановленную гармонию".

В книге "Теодицея" Лейбниц рассматривал тот же вопрос о необходимости зла в мире, о котором писал Хайям в "Трактате о бытии и долженствовании".

Двойственность у Гегеля

Двойственность играла важную роль в философии Георга Вильгельма Фридриха Гегеля (1770-1831), который называл двойственность "диалектикой", от греческого названия искусства спора.Ту роль, которую в монотеистических религиях играет Бог, в философии Гегеля играла "Абсолютная идея", отождествляемая Гегелем с мировым разумом.

Устойчивое существование Гегель называл "действительностью" (Wirk- lichkeit). В предисловии к "Философии права" Гегель писал: "То, что действительно, разумно, а то, что разумно, действительно". Эти слова Гегеля означают, что устойчиво только то, в чем проявляется Абсолютная идея, и все, в чем она проявляется, устойчиво.

По мнению Гегеля, вся история природы и человеческого общества является историей преобразования Абсолютной идеи. Этот процесс, который Гегель назвал "диалектическим процессом", имеет вид "гегелевской триады", состоящей из тезиса, антитезиса и синтеза. Явления природы, развивающиеся по этому закону, всегда относятся к устойчивым явлениям и определяют естественные циклы. Классический пример: если зерно "отрицается" будучи посеянным, оно возродится в виде растения, которое принесет много зерен, если же его "отрицание" состоит в его раздавливании или в сожжении, никакого "синтеза" не произойдет.

Двойственность у позитивистов

Основатель "позитивной философии" Огюст Конт (1798-1857) называл теории, которые нельзя экспериментально проверить, "метафизикой", считал подобно Лейбницу, пространство пассивной жидкой массой, и объяснял возникновение устойчивых материальных структур действием на них активных сил.

Эрнст Мах (1838-1916) рассматривал свою филисофскую систему как продолжение учения Конта и называл ее "новейшим позитивизмом". Мах критиковал учение Ньютона об "абсолютном пространстве и инерции". Эта критика сыграла важную роль в создании теории относительности Эйнштейна.

В учении Маха о "физико-психических элементах", т.е. о том, что предметы реального мира - не что иное, как наши ощущения, также имеется двойственность. Как я упоминал, Ф И.Щербатской установил, что учение о "физико-психических элементах" задолго до Маха развивалось буддистами, называвшими эти элементы "дхарма".

Более поздний позитивист Анри Бергсон называл свою философскую систему "философией жизни". В своей книге "Творческая эволюция" он писал: "Теория познания и теория жизни кажутся неразделимыми". Эти слова показывают, что Бергсон понимал слово "жизнь" в весьма широком смысле - как результат действия творческих сил природы, которые он называл "духом", на пассивную материю. Бергсон считал, что "жизнь" - не материя и не дух, каждое из которых является только "продуктом распада", так что только соединение этих двух противоположностей может привести к "длительному существованию", т.е. к устойчивости явлений.

Устойчивость

Я неоднократно упоминал слово "устойчивость", обозначающее продолжительное существование, обеспечиваемое способностью сопротивляться изменениям. Сопротивление изменениям бывает двух видов: таким, которое можно назвать статической устойчивостью или "устийчивостью дуба" и таким, которое можно назвать динамической устойчивостью или "устойчивость тростника". В первом случае явление просто не поддается изменениям, во втором случае, напротив, легко поддается, но после прекращения внешнего воздействия возвращается в свое прежнее состояние.

В механике этим двум видам устойчивости соответствуют два вида устойчивости движения - устойчивость по Ляпунову, при которой малым изменениям начальных условий соответствуют малые изменения системы в любой момент, и устойчивость по Пуассону, при которой система возвращается к своему прежнему состоянию после прекращения внешнего воздействия. В первом случае говорят, что система обладает инерцией, во втором случае - система обладает упругостью.

В главе "Армия" я писал, что в 1944 г., когда я был военным радистом, я размышлял о гармонических колебаниях, и пришел к выводу, что особенно устойчивы такие динамические системы, которые: обладают и инерцией и упругостью. Так как к таким явлениям относятся системы, движение которых называется гармоническим колебанием, будем называть устойчивость таких систем гармонической устойчивостью.

К гармонически устойчивым явлениям относятся, упоминавшиеся мной, механические осцилляторы, электромагнитные колебательные контуры и атомы водорода, являющиеся соединениями "коллекторов" и "рефлекторов".

Устойчивость и двойственность

Все религии и философские системы, которые мы рассмотрели, ставят вопрос об устойчивости явлений и объясняют причины этой устойчивости. Во всех случаях устойчивость оказывается связанной с различными видами двойственности Наиболее наглядна эта связь в представлении о живом существе как о соединении души с телом. Таковы же платоновские "рожденные", являющиеся результатом воздействия "идей" на "пространство" и аристотелевская "энтелехия", являющаяся результатом воздействия "формы" на пассивную материю. Таковы же устойчивые явления, являющиеся результатом воздействия на материю "пневмы" стоиков, "душ" Декарта, "магнезии" Ньютона и "монад" Лейбница. Такова же "действительность" Гегеля, являющаяся результатом воздействия "Абсолютной идеи" на материю.

Аналогична и гармоническая устойчивость, возникающая в результате соединения "коллектора" и "рефлектора". Будем, следуя Аристотелю, понимать слова "движение" и "энергия" в широком смысле, относя их не только к механике, физике или химии, но к любому виду материи. В таком же широком смысле будем понимать слова "коллектор" и "рефлектор". Поэтому будем называть гармонически устойчивым явлением такую материальную систему, которая является соединением "коллектора" и "рефлектора"в этом широком смысле. "Коллектор" oбладает свойством накапливать энергию, а "рефлектор"- возвращать ее обратно в "коллектор" Благодаря инерциии системы "рефлектор" при превращении накопленной энергии в энергию движения, не даст ей рассеяться в пространстве и таким образом движение системы воспроизведется снова.

Двойственность без устойчивости

Имеется только одна философская система, которая не ставит вопроса об устойчивости материальных структур и причинах этой устойчивости. Этой филосовской системой является марксизм.

Основатели марксизма Карл Маркс и Фридрих Энгельс не считали свои взгляды философской системой и, напротив, противопоставляли их философским системам. Маркс в "Тезисах о Фейербахе" писал, что философы пытаются объяснить мир, но дело состоит в том, чтобы изменить его.

Первоначально Маркс и Энгельс были гегельянцами. Став материалистами они отказались от гегелевской Абсоютной идеи, но сохранили некоторые остатки учения Гегеля о диалектическом процессе, вследствие чего их материализм стали называть "диалектическим материализмом". Из учения Гегеля Маркс и Энгельс заимствовали три "закона диалектики" - закон единства и борьбы противоположностей, закон перехода количества в качество и закон отрицания отрицания, который совпадалетс "гегелевской триадой".

В XX веке появилось выражение "философия марксизма". П.С.Юшкевич назвал сборник статей, вышедший под его редакцией, "Очерками по философии марксизма".

В СССР марксизм стал официальной философией, которую должны были изучать студенты и аспиранты всех специальностей. Основатель Советского государства В.И.Ленин и "вождь народов" И.В.Сталин были объявлены "классиками марксизма". Учение Маркса стало теоретической основой пролетарских революций, диктатуры пролетариата и экспансии коммунизма на весь мир.

И.В. Сталин в 1938 г. в "Кратком курсе истории ВКП(б)" заменил "три закона диалектики" "четырьмя характерными чертами" диалектического метода", две из которых совпадают с первыми двумя "законами", а две другие- "всеобщая связь" и "постоянное движение" были заимствованы из книги Н.И.Бухарина "Исторический материализм".

А.И.Солженицын в романе "В круге первом" описывает спор между марксистом Львом Рубиным и националистом Дмитрием Сологдиным, o том всегда ли имеет место закон отрицания отрицания. Рубин не смог ответить на этот вопрос, но я упоминал, что гегелевская триада имеет место не всегда, а только в случае устойчивых явлений. Видимо, именно из за того, что этот закон не является универсальным, он не был включен в число "характарных черт" диалектического метода. Так Сталин расправися с "остатком" гегелевской теории устойчивости явлений.

Отсутствие теории устойчивости в марксизме было одной из причин распада СССР и краха "всесильного учения".

Хотя в самом марксизме теория устойчивости отсутствовала, попытки ее создания имелись у марксистских "еретиков": в "Тектологии - всеобщей организационной науке" А.А.Богданова, в "теории равновесия" Н.И.Бухарина в трудах "меньшевиствующего идеалиста" А.М.Деборина и в "Судьбах марксизма в России" А.Н.Яковлева.

Устойчивость и двойственность в механике

Если механическая система характеризуется n обобщенными координатами qI (I = 1, 2,...n) и обобщенными импульсами pI, то движение системы определяется каноническими уравнениями В.Р.Гамильтона

dqI /dt = ЭН/Эр;, dpI/dt = - ЭИ/dqI, (1) где H - функция Гамильтона равная сумме Т+U кинетической и потенциальной энергии системы.

В общем случае кинетическая энергия системы Т является квадратичной формой Т=- импульсов, а потенциальная энергия системы U является произвольной функцией координат qI. Особенно важен частный случай, когда U также является квадратичной формой координат U=2cIJqIqJ. В этом случае, если р и q - векторы n-мерного пространства с координатами рI и qI, а А и С - линейные операторы того же пространства с матрицами (Аи) и (CIJ), уравнения (1) принимают вид dq/dt = -Ap, dp/dt = - Cq. (2)

Уравнения (2) эквивалентны векторному уравнению

d2q/dt2 + W2q =0, где W2 = AC. (3) Решение уравнения (3) можно записать в вид

q = (cos Wt)q0 + W-1(sIn Wt)(dq/dt)0, (4) где синус и косинус операторного переменного определяются такими же рядами, как и синус и косинус вещественного переменного. Формула (4) показывает, что механическая система, удовлетворяющая указанному условию, эквивалентна n гармоническим осцилляторам.

В случае одного гармонического осциллятора, состоящего из упругой пружины и инертной массы, n = 1 и роль векторов q и р и линейных операторов А, С и W играют вещественные числа, и движение системы является периодическим. В общем случае движение системы является почти периодическим. Таким образом случаю полной двойственности функций Т и U соответствует устойчивое движение системы.

В реальных условиях часть энергии механической системы рассеивается в пространстве и через некоторое время ее движение прекратится, но если в такт колебаниям системы восполнять рассеивающуюся энергию, движение может быть сколь угодно долгим. В общем случае гармонической механической системы ее "коллектор" определяется линейным оператором C, а "рефлектор" - линейным оператором А. Двойственность между "коллектором" и "рефлектором", на которой основано гармоническое движение в механике, тесно связана с двойственностью между обобщенными координатами qI и обобщенными импульсами р! и между кинетической энергиейТ и потенциальной энергией U Левые части уравнений Гамильтона (1) являются скоростями и силами. Поэтому указанная двойственность связана также с двойственностью между скоростями и силами и между кинематическими и динамическими винтами, к которым приводятся системы скоростей и сил.

В специальной теории относительности Эйнштейна пространство и время являются частями единого пространства-времени, и при переходе от одной инерциальной систены координат к другой пространственные и временные координаты выражаются друг через друга. В специальной теории относительности время рассматривается как 4-я координата, а энергия - как 4-я координата вектора импульса. Поэтому двойственность пространственных координат и координат импульсов и обобщенных координат и импульсов qi и рi следует дополнить двойственностью между временем и энергией. При этом, по-видимому, кинетической энергии соответствует настоящее время, а потенциальной энергии - прошедшее и будущее время. Прошедшее и будущее время сливаются, если перейти от обычного времени к циклическому.

Устойчиность и двойственность в электродинамике

Устойчивое движение электромагнитной системы определяется теми же уравнениями (2) и (3), что и устойчивое движение механической системы, где координаты qi вектора q равны количествам электричества в элементах системы, координаты pi вектора р равны электромагнитным импульсам в элементах системы, оператор А характеризует индуктивность системы, а оператор С - электрическую емкость системы.

При n = 1 мы получаем электромагнитный осциллятор - замкнутый электромагнитный контур, в котором роль "коллектора" играет конденсатор, а роль "рефлектора" - катушка самоиндукции. Пара противоположностей, определяющих устойчивость этой системы, - конденсатор и катушка самоидукции, - асимметрична, но конденсатор содержит симметричную пару противоположностей - пару обкладок, заряженных положительным и отрицательным электричеством.

Так как часть энергии электромагнитного осциллятора идет на согревание проводов цепи и рассеивается в пространстве, электрический ток в цепи осциллятора через некоторое время прекратится. Для продолжения колебаний осциллятора необходима подпитка его энергией в такт колебаниям. "Коллектор" и "рефлектор" гармонической электромагнитной системы общего вида имеют аналогичный характер и определяются, соответственно, линейными операторами C и А.

Устойчивость и двойственность а атомной физике

Выше я упоминал, что в простейшем атоме - атоме водорода роль "коллектора" играет позитроний, состоящий из электрона и позитрона, а роль "рефлектора" - нейтрон, соединенный с позитроном и образующий вместе с ним протон.Так как движение электрона можно рассматривать как электрический ток, атом водорода можно рассматривать как электромагнитный замкнутый контур, в котором позитроний играет роль конденсатора, а нейтрон - роль катушки самоиндукции. При этом электрон и позитрон могут попадаать внутрь нейтрона, и если одна из частиц, образующих позитроний, находится вне нейтрона, то другая из этих частиц находится внутри нейтрона.

В 1960-х годах М.Гелл-Манн установил, что внутри нейтрона находятся три "кварка", один из которых имеет отрицательный электрический заряд равный 2/3 заряда электрона, а каждый из двух остальных кварков имеет положительный электрический заряд равный 1/3 заряда позитрона. Так как нейтрон играет роль катушки самоиндукции электромагнитного осциллятора, кварки играют роль сердечников катушек самоиндукции.

Движение электрона и позитрона в атоме водорода происходит следующим образом. Электрон притягивается к нейтрону, в центре которого находится позитрон, падает на нейтрон, входит внутрь его и движется по винтовой линии на поверхности первого кварка к центру нейтрона, а позитрон движется по винтовым линиям на поверхностям двух других кварков, выходит из нейтрона и доходит до положения симметричного первоначальному положению электрона относительно центра нейтрона. Далее позитрон падает на нейтрон, входит внутрь его и движется к его центру по винтовым линиям на поверхностях двух кварков, а электрон движется по винтовой линии на поверхности первого кварка, выходит из нейтрона и движется к своему первоначальному положению, после чего движения электрона и позитрона продолжается таким же образом снова. Дробные электрические заряды кварков объясняются тем, что эти значения являются средними арифметическими для многих циклов.

В атомной физике положения частиц и значения физических величин определяются иначе, чем в классической физике: с каждой частицей в атомной физике связана комплексная волновая функция Y(x,y,z,t) пространственных координат и времени, которую можно рассматривать как вектор комплексного гильбертова пространства, а с каждой физической величиной - самосопряженный линейный оператор А этого пространства, причем вероятность нахождения частицы в некоторой области пространства - времени и вероятность того, что значение физической величины находится в некоторой области этих значений равны интегралам от квадрата модуля вектора |Y| или от эрмитовой формы равной скалярному произведению векторов Y и AY по указанным областям. С количеством электричества электрона или позитрона связано произведение волновой функции этой частицы на величину q заряда этой частицы, а сила тока, определяемого движением этой частицы, выражается вещественной частью частной производной соответственной волновой функции qy по времени.

Волновая функция, определяющая электрон атома водорода в случае, когда энергия позитрония, входящего в состав этого атома, равна Е, удовлетворяет уравнению Шредингера

(h/2n)I9^/9t = E^, (5) где h - константа Планка, имеющая размерность действия, т.е. произведения энергии на время. Линейный оператор, стоящий в левой части этого уравнения, определяет энергию системы, а Е - собственное значение этого оператора. Если представить функцию Y в виде Y₁+iY₂ где Y₁ и Y₂- вещественные функции, то комплексное уравнение (5) можно переписать в виде системы двух вещественных уравнений (h/2n)a^1/at = e^2, (h/2p)a^2/at = -E^1 (6)

того же вида, что система (2). Уравнения (6) равносильны уравнению

(h/2n)2a2^1/3t2 + E2^1 = 0, (7) решение которого имеет вид = (cos (2nEt/h)) (^1)0 + (sin (2nEt/h)) O^/dt)0. (8)

Функция (8) является периодической с периодом T=h/E, т.е. частота n = 1/T переменного тока в атоме водорода связана с энергией Е соотношением E = hn. последнее соотношение совпадает с формулой Планка, связывающей энергию Е кванта света с частотой n этого света.

Линейные операторы, отличающиеся от оператора, стоящего в левой части уравнения (5) заменой временной координаты t на пространственные координаты х, у, и, определяют соответственные координаты вектора импульса. Позитроний и нейтрон образуют асимметричную пару противоположностей, а позитрон и электрон в позитронии - симметричную пару. Греческое слово atomos - "неделимый" является аналогом латинского слова individuum. Человеческий индивидуум в религиозных представлениях, как и атом водорода, состоит из двух ассимметричных противоположностей - тела и души, а в человеческой душе имеются симметричные противоположности, называемые добром и злом.

При движении электрона и позитрона в атоме водорода не происходит рассеивания энергии в пространстве, этим объясняется исключительная устойчивость атома водорода.

Атомы тяжелых элементов и молекулы являются соединениями атомов водорода, причем в атомах тяжелых элементов объединены нейтроны атомов водорода, а в молекулах - позитронии.

Если тяжелый атом является соединением N атомов водорода, то ядро этого атома содержит N нейтронов, а в состав этого атома входят n < N позитрониев. В частности, в случае атома гелия N=4, n=2 и при образовании атома гелия из 4 атомов водорода два позитрония аннигилируются и превращаются в кванты света. Такое образование атомов гелия, сопровождаемое выделением энергии происходит внутри Солнца и звезд и является причиной свечения этих небесных тел. На этом факте основана водородная атомная бомба.

Устоичивость и симметрии кристаллов и солитонов

Устойчивость кристаллов и солитонов (уединенных волн) также связана с их симметрией. В случае солитонов эта симметрия определяет интегрируемость дифференциальных уравнений, которые описывают их внутреннее движение.

Симметрия кристаллов связана с тем, что они заполняют некоторую область пространства. Разбиение пространства на одинаковые фигуры возможно только в том случае, когда эти фигуры обладают 3-сторонней, 4- сторонней или 6-сторонней симметрией, поэтому n-сторонняя симметрия кристаллов возможна только при n = 3, 4 или 6.

Устойчивость и двойственность в механике и физике более подробно описаны в конце 6 главы моей книги "Геометрия групп Ли". Там же указана связь уравнений Гамильтона (1) с симплектической геометрией.

Устойчивость и двойственность в астрономии

Устойчивость Солнечной системы и других звездных систем, а также галактик и супергалактик объясняется аналогично устойчивости явлений механики и физики. О том, что Солнце является одной из звезд было известно еще со времен Джордано Бруно, но планеты, обращающиеся вокруг некототых звезд, были обнаружены только недавно.

С.П.Новиков в одной из своих работ о солитонах писал, что звездные системы и галактики следует рассматривать как гиганские солитоны.

Внутри звезд совершаются циклические процессы, о чем свидетельствует периодичность изменения солнечной активности: расстояния между максимумами этой активности равны 11-12 годам. Солнечная активность влияет на события на Земле, некоторые ученые считают, что вспышки этой активности вызывают эпидемии, а математик и экономист В.С.Джевонс связывал с ними экономические кризисы.

1917 год, в котором я родился, - год Февральской и Октябрьской революций в России - по "звериному циклу", календарей многих народов Востока, был "годом змеи". Так как "звериный цикл" состоит из 12 лет, другие "годы змеи" были: 1905 - год первой русской революции, 1929 - "год великого перелома", 1941 - год нападения Германии на СССР, 1953 - год смерти Сталина и государственного переворота в СССР. Следующий государственный переворот в СССР произошел через 11 лет в 1964 г. Трагические события этих лет также связаны с вспышками солнечной активности.

Роль "рефлектора"и "коллектора" в звездной системе играют звезда и ее гравитационное поле, в котором обращаются планеты и кометы.

Объединение звездных систем может быть двух видов: при объединении самих звезд получаются звезды большего размера, при объединении гравитационных полей звезд образуются галактики. Термин "галактика" происходит от греческого названия Млечного пути GalaxIa, так как Млечный путь - та галактика в которую входит Солнечная система. Галактики также обладают внутренним движением и симметрией. Супергалактики являются объединениями галактик.

Устойчивость и двойственность в биологии

Замечательными устойчивыми явлениями природы являются живые существа. Все живые существа состоят из клеток. Каждая живая клетка состоит из ядра и цитоплазмы, клеточное ядро состоит из кариоплазмы и хроматина. Цитоплазма и кариоплазма образуют протоплазму. В живой клетке имеются частицы, называемые митохондриями, обладающие способностью накапливать энергию. Благодаря содержащейся в митохондриях аденозинной трифосфорной кислоте (АТК) энергия накапливается в образующихся в анаболических реакциях больших молекулах белков, жиров и углеводов. Эта энергия освобождается, когда большие молекулы в катаболических реакциях распадаются на молекулы воды, углекислоты и аммиака. Освободившаяся энергия используется для внутреннего движения клетки, и в результате этого движения снова накапливается в митохондриях. Хроматин, благодаря содержащейся в нем дезоксирибонуклеиновой кислоте (ДНК), обладает способностью сохранять генетическую информацию и регулировать внутреннее движение клетки.

В случае гармонической материальной структуры, являющейся живым существом или сообществом живых существ, будем называть "коллектор" этого явления его душой, "рефлектор" этого явления - его телом. "Душа" клетки состоит из митохондрий и хроматина, а "телом клетки" является ее протоплазма.

Появление жизни на Земле могло произойти при соединении двух органические веществ, одно из которых могло накапливать энергию, а другое - приводиться в движение этой энергией и возвращать ее в первое веществ.

Эрвин Шредингер в книге "Что такое жизнь с точки зрения физики" пытался объяснить, чем живая материя отличается от неживой материи. Как известно, неживая материя благодаря энтропии стремится перейти в состояние равновесия. Так как живая материя не переходит в состояние равновесия, Шредингер считал, что она обладает "отрицательной энтропией". На самом деле никакой отрицательной энтропии не существует, и устойчивость живой клетки объясняется тем, что она является соединением "души" с "телом".

Другой элементарной формой жизни являются вирусы. Вирус можно рассматривать как "душу" клетки без ее протоплазмы, или как часть такой "души". Если вирус проникает в клетку, то он заменяет в хроматине клетки ее гены своими и превращает ее в клетку с другой "душой".

Все вирусные заболевания человека являются результатом внедрения вирусов в клетки здорового человека.

Многоклеточные организмы являются объединениями клеток. При этом в организмах животных объединены "души" клеток, а в организмах растений объеденены их "тела". "Душой" организма животного является нервная система, а "телом" - пищеварительная система и мускулатура. "Душой" организма растения являются корни, а "телом" - ствол и ветви.

Колебательный характер жизненных процессов животных и растений выражается в их различных биоритмах.

Многие животные и растения обладают двусторонней и многосторонней симметрией. Так как симметрия живых существ, в отличие от симметрии кристаллов, не связана с разбиением пространства на одинаковые фигуры, в случае n-сторонней симметрии живых существ число n не обязательно должно быть равным 3, 4 и 6, а может быть равно 5, 7, 8 и другим числам.

Следует отметить, что в случае животных и человека двусторонняя симметрия не является полной. В частности, правая и левая половины человеческого мозга обладают различными свойствами: левая половина мозга связяна с формальным, логическим мышлением, а правая - с воображением, интуицией и эмоциями. Поэтому в данном случае пара противоположностей "правое и левое" заменяется парой "воображение и логика", которая в области математики приводит к паре "геометрия и алгебра".

Сообществами живых организмов являются виды и популяции. В популяциях имеют место колебательные процессы типа зерно - растение - много зерен или яйцо - курица - много яиц.

Некоторые популяции типа пчелиных роев или муравейников, подобны живым организмам.

Устойчивость и двойственность в человеческом обществе

Элемент человеческого общества - семья - состоит из мужчины и женщины, роль которых аналогична роли позитрона и электрона в атоме водорода, и семейного хозяйства, роль которого аналогична роли нейтрона. Поэтому мужчина и женщина образуют "душу" семьи, а семейное хозяйство - "тело" семьи.

Связь между семьей и ее хозяйством (собственностью) очевидна из того, что во всех религиозных сектах от маздакитов в доисламском Иране до европейских сект, описанных И.Р.Шафаревичем в его книге о различных видах социализма, отмена собственности всегда сопровождалась ликвидацией семьи и введением общности жен. Такие же отмены частной собственности и семьи описаны Платоном в его книге "Государство" и Марксом и Энгельсом в "Коммунистическом манифесте". На иврите слово "баал" означает и "хозяин" и "супруг".

Человеческое общество является объединением семей. Имеется два типа объединения семей - образование "сверхсемей" и образование "сверххозяйств". Первый способ объединения ближе к организации стаи животных, при этом способе объединения появлялись сначала племена, затем феодальные княжества, дальнейшее объединение которых приводило к абсолютным монархиям и империям. В этих сообществах вождь племени, феодал и монах рассматривались как отец племени, княжества или государства. Феодальное "право первой ночи", несомненно, было пережитком тех времен, когда племенной вождь или феодал и в самом деле был отцом племени или княжества.

В феодальном обществе, как и во всяком человеческом обществе, имелись циклические процессы аналогичные процессам популяциях животных. Роль энергии в феодальном обществе играла родовитость, измеряемая древностью рода и, следовательно, количеством действительных или формальных потомков. "Душой"феодального общества была знать, дворянство и духовенство. "Тело" общества составляли крестьяне и ремесленники и орудия их производства.