Исследование операций – Гермейер, Беллман, Заде

Исследование операций – Гермейер, Беллман, Заде

С начала 60-х годов в Советском Союзе – Москве, Ленинграде, Киеве, стали довольно интенсивно заниматься методами оптимизации. Это была своеобразная страница жизни довольно большого коллектива советских ученых, – математиков, инженеров, экономистов, связанная со многими иллюзиями и наполненная разочарованиями. Отыскание оптимальных решений всегда занимало в метематике весьма значительное место. Тем более, что довольно много инженерных задач сводились к проблемам оптимизации. С появлением электронных вычислительных машин в этом направлении открылись новые перспективы. И многим, в том числе и автору этих размышлений, казалось, что работы в области оптимизации, теории оптимального управления, прежде всего, откроют новую страницу в истории государства и не останутся чисто математическими упражнениями. Я не думаю, что это была дань марксизму, поскольку и на Западе увлечение идеями оптимизации в то время было повсеместным.

Традиционно, со времен великого Эйлера, физика и механика, а затем и практика машиностроения были основными «поставщиками» вариационных задач. Однако в конце 50-х годов новое поле деятельности было открыто не традиционными интересами чистой математики и рутинной инженерной практикой, а той же ракетной техникой, о которой я уже столько говорил в этой книге. Вывод на орбиту некоторого груза требует огромных затрат энергии. Поэтому становится весьма актуальной проблема выбора такой траектории стартового участка космической ракеты, при движении вдоль которой, с той же затратой топлива, можно было бы вывести на орбиту лишний килограмм полезного груза. Первый, который понял суть этой проблемы был Д.Е. Охоцимский. Еще в 46-ом, году, будучи студентом, он опубликовал работу ей посвященную.

Оказалось, что задачи выбора оптимальной траектории выходят за рамки классического анализа (того вариационного исчисления, которое было создано Эйлером и Лагранжем) и требуют разработки новых математических подходов. И он уже содержался в знаменитой статье Охоцимского. Но решающий шаг, увы, сделал не он. А о статье Охоцимского помнят только отдельные специалисты.

Дело в том, что лет через пять после этой работы, Л.С. Понтрягин опубликовал свой принцип максимума. Им была предложена чрезвычайно простая и элегантная конструкция, позволяющая сводить эти нестандартные задачи анализа к краевым задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений – задачам трудным, но все же решаемым классическими методами численного анализа. Но, по моему глубокому убеждению, решающий шаг все таки был сделан Охоцимским – именно он впервые показал, пусть на примере, как надо решать такие задачи. Для этого он использовал, так называемые, игольчатые вариации и объяснил некоторые особености оптимальных траекторий. Впрочем, игольчатые вариации придумал еще Лежандр в начале XIX века, но кто помнит о таких вещах?

Так или иначе, заключительное слово было сказано Понтрягиным. И это – «абсолютная истина»! Мне всегда было жаль, что «понтрягинцы» не ссылались на основополагающую работу студента дипломника мехмата МГУ, каким был в ту пору Дмитрий Евгениевич Охоцимский. Впрочем таков стиль наших математиков – не замечать, всего того, что сделано не ими. Пантрягицев – особенно.

Мне всегда казалось, что самое главное в науке понять основную сущность, основную идею, дать ее рельефную интерпрета-

цию. Строгое доказательство, возможность его предельного обобщения также необходимы – это закрепление позиций знания, но истинное развитие науки определяют интерпретации, они несут нечто существенно более важное, чем строгое доказательство – то понимание, которое необходимо для продуцировния новых идей.

Я помню, например, как в начале 50-х годов Андрей Васильевич Бицадзе дал несколько замечательных примеров иллюстрирующих свойство сильной эллиптичности. Однако позднее в сознании математиков эти результаты оказались связанными с именем профессора Вишика, который, кажется, в своей докторской диссертации построил общую теорию таких систем. Как ни важна была работа Вишика, но само открытие свойства сильной эллиптичности, интепретация его особенностей были, прежде всего, достижением Бицадзе, его вкладом в математику. Не чисто спортивный результат, не техническое преодоление трудностей, что традиционно особенно цениться математиками, а понимание «души» проблемы – вот что меня всегда привлекало в первую очередь. Вот почему я так ценю работу Охоцимского. Почему и сам ушел из чистой математики.

По этой же причине, когда в начале 60-х годов я начал читать на Физтехе курс методов оптимизации, я решил пересмотреть все истоки принципа максимума и постараться проделать до конца тот путь, на который вступил Охоцимский. В своем курсе я не стремился строить и излагать какую либо строгою теорию. К тому времени, с точки зрения матаматики, все уже было давно понято и все основные результаты получены. Но мне хотелось дать студентам такую интерпретацию, которая позволила бы увидеть сколь по существу прост этот принцип, как он естественным образом связан с классическим математическим анализом, его идеями и что принцип максимума выводится практически традиционным образом, опираясь лишь на идеи Лагранжа и Лежандра.

Исследования оптимизационных проблем я постарался поставить более широко, рассматривая их в качестве естественной составляющей более общей проблемы построения теории и методов отыскания рациональных решений. Другими словами, я считал необходимым в таком институте как наш, ориентированном на эффективные решения прикладных задач с помощью вычислительной техники, изучать проблемы оптимизации в контексте той дисцинлины, которую в послевоенные годы стали называть исследованием операций. В Вычислительном Центре была организована лаборатория исследования операций, возглавить которую я пригласил Юрия Борисовича Гермейера, моего старого друга Юру Гермейера, с которым мы еще в школьные годы ходили в кружок Гельфанда, жили в одной комнате в общежитии на Стромынке, будучи студентами мехмата и работали вместе в конце сроковых годов в НИИ-2 у одного и того же главного конструктора Диллона.

В это же время в МГУ академиком А.Н.Тихоновым начал создаваться факультет прикладной математики и кибернетики. Я представил Андрею Николаевичу профессора Гермейера. Они друг другу, кажется, понравились. Во всяком случае, Гермейер организовал и стал заведовать на новом факультете кафедрой исследования операций.

У нас возникла очень неплохая и работоспособная кооперация по оптимизационной проблематике: несколько активно работающих лабораторий ВЦ и две кафедры – моя кафедра прикладной математики в МФТИ и кафедра Гермейера в МГУ. Но для меня такая кооперация была гораздо больше чем просто кооперация. Рядом со мной оказался теперь мой старинный друг, которому я мог поведать все свои мысли, которого я не стеснялся и, который меня знал настолько, что не стал бы обо мне думать хуже независимо от той или иной бредовой идеи, которая могла бы придти мне в голову.

Работа в теории оптимального управления, потянула еще целую цепочку задач и очень рассширила круг людей, с которыми я оказался в контакте. Я начал проводить регулярные всесоюзные математические школы по теории оптимального управления. Они проходили в самых разных местах Советского Союза – в Молдавии, Эстонии, на Волге, в Сибири...Приглашали мы и иностранцев. Особенно из социалистических стран. Начал складываться своеобразный коллектив, в рамках которого вырастала интересная группа специалистов по прикладной математике, защищались диссертации, печатались монографии. Такие известные ныне специалисты как Михалевич, Пшеничный, Демьянов, Евтушенко и многие другие, так или иначе, прошли через эти школы. Деятельность школы не была связана с какой либо конкретной областью приложений – собирались люди самой разной активности. И не только работающие в прикладной сфере. В наших школах принимали участие и люди, занимавшиеся чисто математическими проблемами. Это взаимное общение позволило сформироваться у нас в стране своеобразной школе, объединившей первокласных математиков и людей, работавших в физике, экономике, машиностроении... – явление достаточно уникальное в мировой практике. И со временем, многие, принимавшие активное участие в нашей деятельности, получили довольно высокий международный рейтинг и известность, как и наша общая деятельность.

В отличие от тех работ, которые проводились в интересах ВПК, и были связаны с закрытыми разработками, исследования в теории оптимального управления, шире – в области методов оптимизации, открывали разнообразные возможности для международных контактов и кооперации. Мы участвовали в большом числе разнообразных конференций, различных международных программах, ездили за рубеж читать лекции. У нас появились зарубежные аспиранты, возникли новые дружеские связи. Некоторые из них сыграли в моей жизни немаловажную роль. Во всяком случае, они мне наглядно показали, что духовная общность, общие научные интересы и близость взглядов на смысл собственной деятельности, порой сближают людей куда больше, чем общность национальная или политическая. В связи с этим я хочу вспомнить двух моих друзей – Ричарда Беллмана и Лотфи Заде.

С Заде я познакомился еще в Москве на какой-то конференции в Институте Проблем Управления. Кажется, в конце 50-х годов, когда он уже был профессором в Беркли и сделался в Соединенных Штатах фигурой номер один в области теории управления техническими системами. Лотфи родился в Баку и его первым языком был кажется русский. Но его отец был персидским подданным и занимался бизнесом. Поэтому году в 27-ом семейство Заде было вынуждено выехать из Союза. Сначала в Иран, а затем в Америку. Но Лотфи сохранил превосходный русский язык. Во время моих визитов в Беркли он переводил мои лекции, так как я по английски не говорю. В тот приезд он был у меня в гостях и мы провели очень приятный вечер. На меня произвела большое впечатление и его жена Фанни – очаровательная и жизнерадостная женщина. Она не могла не нравится людям. Не только потому, что была интересна и элегантна, но и источала из себя благожелательность и доброту. Она действительно привлекала общее внимание и вызывала симпатии людей даже мало с ней знакомых.

Как-то через четверть века, уже в 80-х годах я был проездом в Сан-Франциско и позвонил в Беркли на квартиру Заде. Но его не было в городе, а Фанни, узнав, что я пробуду всего лишь несколько часов примчалась меня повидать. А путь вокруг залива не короткий, да и возраст...Фанни было тогда, увы, уже за 60. Я ее отговаривал, но – Фанни есть Фанни!

Она поставила свою машину на крутом спуске, мы зашли в кафе и погрузились в воспоминания. Она помнила имена всех своих московских знакомых, помнила все их беды, каждому из них поручала что-то сказать. Прощаясь уже около машины я поцеловал ей руку. Рядом стоящий огромный американец, выразил свое удивление по этому поводу. Фанни улыбнулась и ответила -"господин не американец, он европеец". На что последовала прекрасная реплика: «Если бы я провожал такую же очаровательную даму, то я тоже был бы европейцем!»

Но настоящее знакомство с семьей Заде состоялось одним или двумя годами позже их первого визита в Москву на международной школе по посвященной проблемам оптимального управления в Дубровнике, куда я был приглашен, так же как и Заде в качестве профессора. Меня поселили в домике, в котором уже жили супруги Заде и Ричард Беллман со своей молоденькой женой. Беллман, я и супруги Заде были ровестниками. А Найна, хорошенькая беленькая девочка, казалась нам совсем юной, что и было на самом деле. И это обстоятельство нас всех заставляло за ней тянуться. Наш домик стоял прямо над морем. От воды нас отделяло... 200 ступенек (вниз!). И каждое утро по инициативе Найны вся наша компания спускалась купаться. Неплохая зарядка для уже не очень молодых людей! Впрочем, тогда еще никакие старческие хвори нам не грозили и после купания в Адриатическом море, 200 ступенек вверх нам еще не казались такими трудными, а были лишь хорошим предверием к утренрнему завтраку.

Нас неизменно сопровождала большая овчарка хозяина нашего дома. Ее звали Яшин по имени знаменитого вратаря сборной команды Советского Союза. Это была симпатичная и добрейшая псина. Впрочем собаки наследуют характер своих хозяев, а наш хозяин, отставной моряк был очень похож на своего грозного стража. А имя этот страж получил не с проста. Каждое утро, когда кто либо выходил на веранду, Яшин приносил камушек, отступал метра на два или на три, принимал позу вратаря и требовал, чтобы этот камушек пнули ногой. Как правило, он камушек умудрялся поймать и тогда удовлетворенный отпускал свою жертву. Если же он камушек пропускал, то начинал жалобно скулить и приносил новый камушек.

Вот такой компанией мы и жили – нас пятеро, да и Яшин.

А по вечерам мы сидели на веранде, прямо над морем, попивали легкое винцо и говорили о ... математике. Вот когда я по настоящему оценил своих новых друзей. Мы были не только ровнестниками, но и почти по всем вопросам единомышленники.

Мои взгляды на математику, на ее место в системе наук и человеческой жизни, на науку вообще складывалось и под влиянием моих учителей, среди которых я выделяю Д.А. Вентцеля и И.Е. Тамма и тех титанов, с которыми меня сводила жизнь – М.А. Лаврентьева, Н.Н. Боголюбова, С.Л. Соболева. Я даже не знаю, кто они были – математиками, физиками, инженерами. Большое значение имела для меня и моя инженерная деятельность, связанная с решением конкретных задач аэрокосмического комплекса. И у меня возникло двойственое отношение к математике. Я преклонялся перед математикой и теми, которых я считал великими математиками. И первым среди них с считал Пуанкаре. Но однажды я возненавидел математический снобизм, который мне прививался в университете. Вот почему, прежде всего, я преодолел представление о самодостаточности математики, столь характерное для московской математической школы. Как и всякая наука, математика, может быть и прекраснейшая из наук, все-таки чему-то служит.

Я безусловно разделял ту точку зрения, что любая теория в чем-то ущербна, если она не имеет математического оформления. И всегда стремился переходить от вербального к математическому описанию. И, в тоже время, я понимал шаткость такой позиции, поскольку, все исходные постулаты необходимые для математической формализации очень условны. Да и само описание на языке математики далеко не всегда удается получить. Вот почему ничего нельзя абсолютизировать, в том числе и понятие математической строгости, которое после теорем Гедделя даже в чисто математическом плане, превратилось в понятие весьма относительное.

Одним словом во всем нужно чувство меры и... юмора. И в отношении к математике, и к свей деятельности и самому себе, в первую очередь! Этот принцип мне преподал Д.А. Вентцель, иронически выслушивавший мои сентенции усвоенные от другого моего учителя – Д.Е. Меньшова, дипломником которого на кафедре фукционального анализа я был в 1940-ом году. И такой критицизм, такое понимание относительной ценности того, что каждый из нас способен придумать и понять, отнюдь не уменьшает энтузиазма в своей исследовательской деятельности. Просто он все ставит на свои места. И меняя шкалу ценностей, переносит на место абсолютного – интерпретацию! Но это утверждение, которое всегда руководит моей деятельностью я связываю уже с именем Нильса Бора.

И вместе с этим – еще один принцип:"мамы разные нужны, мамы разные важны". Человек по-настоящему хорошо может делать то, что ему интересно. И только хорошие дела складываются в человеческую копилку. А почему одному интересно одно, а другому другое, понять очень непросто – такова природа человека.

Именно вот с таких позиций я и мои новые друзья обсуждали вечерами и свои лекции и лекции других профессоров, которые мы усердно слушали. Разговор велся на странной каше русского, французского и английского: Заде и Беллман говорили между собой по английски, я с Беллманом – по французски, а Заде со мной – по русски. Но рядом всегда была Фанни – она говорила на всех мыслимых и немыслимых языках и обычно нас выручала в трудных ситуациях.

Оба мои новых знакомых были людьми высокоодаренными, но очень разной судьбы. Заде связал себя сразу с инженерной деятельностью. Он никогда не претендовал на то, чтобы считаться математиком, хотя прекрасно владел и теорией вероятностей и алгебраическими методами. Он очень быстро получил признание в теории управления техническими системами и только уже будучи весьма титулованным стал заниматься более абстрактными конструкциями. В тот год он начинал создавать свою теорию, которая получила название нечетких множеств. Я ценил эти работы и позднее даже согласился войти в состав редколлегии соответствующего международного журнала. Но мне казалось, что наиболее интересное развитие его методы найдут в теории фильтрации случайного процесса нелинейным оператором. Я даже пробовал начать соответствующее исследование, однако какого либо успеха не добился.

У Беллмана судьба была совершенно иной. Он считал себя, прежде всего, математиком и искал признания у математиков. Но, увы, американские математики ему в этом отказывали и не считали его математиком: уж очень он не укладывался в привычные стандарты. Выбрал себе для работы Rand Corporation и только гораздо позднее стал преподавать в Южнокалифорнийском Университете. Придумывал методы и начинал их применять без особого обоснования. Да и его чисто математические теоремы были доказаны не очень аккуратно с точки зрения высокой математики. Книги писал быстро, порой не доводя до кондиции. Но книги его раскупались, переводились на многие языки и читались, правда не математиками, а инженерами, физиками, экономистами. В Советском Союзе он был гораздо популярнее, чем в США. Особую популярность в нашей стране принесло создание им динамического программирования.

История динамического программирования совсем не проста и я имел к ней определенное отношение.

В конце 50-х годов я придумал способ решения задачи выбора траектории управляемой ракеты, которая обходит некоторую запретную зону так, чтобы с данным запасом топлива перенести максимальный груз. Идея вычислительного процесса мне самому очень понравилась и я ей гордился. Однако В.Г. Срагович, после моего доклада на семинаре нашего отдела мне сказал, что похожую задачу решал молодой киевский математик В.С. Михалевич. И его решение уже опубликовано. Я поехал в Киев и обнаружил, что это действительно так. Правда, он решал задачу профилирования дороги и у него не было дифференциальных уравнений, но идея численной реализации была одна и та же. По-видимому идея метода нам пришла в голову почти одновременно, но Михалевич опубликовал свою работу раньше, тем более, что моя работа была опубликована в закрытом отчете и о ней кроме меня долго никто не знал. Поэтому, когда этот метод решения оптимизационных задач я включил в свой учебник, то назвал его «Киевским веником», назвав Михалевича его первым автором.

Но на этом история не кончается. Оказывается, что года за два до описываемых событий, американский математик Ричард Беллман опубликовал такой же метод и назвал его динамическим программированимем. Мы достали книгу Беллмана и перевели ее на русский язык. Оказалось, что метод киевского веника некий аналог динамического программирования. Он не столь универсален как метод Беллмана, но имеет определенные преимущества при численной реализации для тех конкретны задач, которые решали мы с Михалевичем.

Вот почему мне было так интересно познакомиться с Беллманом и провести с ним почти месяц в Дубровнике. Наши циклы лекций мы читали парралельно и каждый день сопоставляли прочитанное. У нас сложились по человечески дружественные отношения и они прошли через всю жизнь.

В конце 70-х годов у Беллмана обнаружили опухоль в мозге. Он вынужден был уйти с работы в Rend,е и остался только в университете Южной Калифорнии. Болезнь оказалась неизлечимой – ему делали операцию за операцией, но все было бесполезно. Несмотря на то, что он уже не мог работать, унивнерситет сохранил ему полную зарплату. Но ее было недостаточно для того чтобы покрыть все траты на медицину. В прошлом богатая семья оказалась в очень трудном материальном положении. Им пришлось продать дом и жить крайне скромно. Как мне рассказывали наши общие знакомые, особенно тяжелым был последний год и Найна всеми силами стремилась облегчить участь своего мужа, до последнего дня надеясь на благополучный исход.