Глава 1 Дальние горизонты

Глава 1

Дальние горизонты

Есть и другое, еще более опасное искушение: склонность к любопытству.

Аврелий Августин, епископ, причисленный к лику святых

О математиках древности достоверно известно немногое, поскольку большинство их рукописей утеряны либо установить их авторство очень сложно. Отделить реальность от вымысла нелегко, в особенности потому, что люди склонны возвеличивать исторических личностей, так что сохранить объективность изложения будет непросто. Как бы то ни было, истории известны математики, чей вклад в науку и чья слава, подобно жене Цезаря, выше всяких подозрений.

Гипатия Александрийская (ок. 370 — ок. 415)

Посетители музеев Ватикана, жаждущие увидеть их сокровища, в изумлении замирают перед огромной фреской размером 5 x 7,7 м под названием «Афинская школа» работы Рафаэля Санти, больше известного как Рафаэль. «Афинская школа» — один из главных его шедевров, и от размеров и красоты этой работы захватывает дух. В числе героев фрески, посвященной величайшим представителям древнегреческой мысли, можно узнать Платона, Евклида, Архимеда, Аристотеля, Сократа… Среди этих титанов выделяется единственная женская фигура со светлыми волосами, стоящая вполоборота, словно извиняясь за свою дерзость находиться в одном ряду с лучшими, стоять рядом с гигантами. Эта женщина — Гипатия Александрийская. Она стоит посреди величественного, внушающего трепет собрания философов, математиков и астрономов и смотрит прямо на зрителя.

Истинному масштабу ее личности соответствуют лишь немногие из почестей, которыми была удостоена эта женщина. Астрономы особо отметили Гипатию: ее именем назван кратер на Луне, борозда в 180 километрах от него и астероид.

И все же вершиной признания остается картина Рафаэля — чтобы прикоснуться к ней, не нужна карта звездного неба, ведь каждый из нас может свободно попасть в этот огромный мир — мир искусства.

«Афинская школа» Рафаэля. Рядом приведено увеличенное изображение Гипатии Александрийской, какой ее изобразил этот художник Возрождения.

Проследив за жизненным путем Гипатии, мы сможем лучше понять, как ученые обретают бессмертие на страницах энциклопедий и на киноэкране — признаем, кино дарует славу и бессмертие намного лучше книг.

Гипатия родилась в очень знатной семье: ее отец, Теон (ок. 335 — ок. 405), был управителем Александрийского музея, этот храм муз назывался мусейоном и ему подчинялась великая библиотека Серапеума, обедневшая наследница Александрийской библиотеки — жемчужины эллинистического мира. Александрийская библиотека была разрушена несколькими веками ранее, в результате чего были утеряны ценнейшие рукописи, а прогресс человечества, несомненно, надолго замедлился.

В 391 году патриарх Феофил приказал сжечь и Серапеум. Теон также был видным математиком и работал вместе с дочерью над разработкой и совершенствованием астрономии (однако Теон не был основоположником этой науки). Именно рукой Гипатии записаны комментарии Теона к важнейшему труду Птолемея (ок. 100 — ок. 170), «Альмагесту». Этот авторитетный трактат изначально назывался «Мэгистэ» от греческого «мэгистос» — «Величайший». Отец считал, что в математике дочь значительно превзошла его.

Гипатия чувствовала себя среди мужчин как рыба в воде, что подтверждало ее исключительный характер. В точности неизвестно, как она выглядела, однако близкие друзья отмечали ее привлекательную внешность. Гипатия также была превосходным оратором и занималась преподаванием. После разрушения Серапеума она вела занятия только у себя дома. Ее слава привлекла в Александрию учеников из многих городов. Весьма вероятно, что в свое время она считалась первым математиком мира.

Если говорить о философских взглядах Гипатии, то она придерживалась собственного направления неоплатонизма, что, впрочем, для нас не столь важно. Гораздо важнее то, что Гипатия была язычницей в преимущественно христианском мире, и хотя она почти не проявляла своих верований, именно они в конечном итоге стали причиной ее ужасной смерти.

Трагическая гибель Гипатии

Если говорить коротко, события в те годы развивались следующим образом: по всей видимости, римский префект Орест, принявший христианство, чтобы избежать трений с местным населением, и недавно назначенный патриарх Кирилл повздорили. Гипатия и Орест раньше были единоверцами и остались хорошими друзьями (Гипатия когда-то была учителем префекта), поэтому христиане питали к ней неприязнь. Впрочем, это не мешало им уважать Гипатию как астронома и математика — на астрономов в те времена смотрели как на астрологов, посвящавших жизнь составлению гороскопов. В то время маятник истории качнулся в обратную сторону, и христиане, ранее преследуемые и составлявшие меньшинство, превратились в большинство и сами стали преследователями.

Кирилл решил изгнать евреев из Александрии, но Орест воспротивился этому: он не хотел по прихоти патриарха лишаться податей от четверти населения! В те времена религиозная нетерпимость и жестокая борьба за власть были обычным делом, так что Кирилл решил устранить соперника. Он спланировал покушение на Ореста, но тот выжил. Тогда Кирилл выбрал новую жертву. Выбор казался очевидным: знаменитая женщина, которая была явно ненормальной, поскольку осмеливалась философствовать, ведьма, которая занималась гороскопами и имела привычку рассуждать, язычница и, наконец, подруга Ореста, которая наверняка оказывала на него дурное влияние. И Кирилл решил направить гнев христиан на Гипатию.

* * *

АСТРОЛЯБИЯ

В древнегреческом языке слово «астро» означает «звезда», «лябия» переводится как «ищущая», таким образом, «астролябия» — «ищущая звезды». Этот прибор воспроизводит на первый взгляд очень сложное движение небесных тел. Принцип действия астролябии основан на стереографической проекции небесной сферы, с той разницей, что в качестве центра проекции выбран не полюс (такая проекция является конформной и сегодня используется повсеместно), а точка, в которой находится наблюдатель.

Разумеется, астролябия описывает положение и движение звезд только в том полушарии, в котором расположен наблюдатель. Траектории движения звезд, наблюдаемые в трех измерениях, проецируются на двумерную плоскость астролябии. Если нам требуется трехмерная модель, следует воспользоваться армиллярной сферой и похожими приборами, которые представляют собой настоящие копии небесной сферы.

Мы не будем подробно рассказывать об устройстве и принципе действия астролябии — на это ушло бы несколько часов, при этом для читателя, который не обладает достаточными знаниями астрономии, наш рассказ будет абсолютно бесполезным. Имя конструктора астролябии достоверно неизвестно, но считается, что теоретические основы для создания этого прибора заложил Птолемей. Астролябия постепенно усложнялась, пока, наконец, достаточно усовершенствованный ее вариант не попал в руки к Теону. Синезий, ученик Гипатии, в одном из писем указывает, что она помогла отцу изготовить астролябию и понять принцип ее действия.

К астролябии было приделано кольцо, за которое прибор подвешивался вертикально для проведения измерений. Если упростить, то астролябия представляет собой диск с проградуированным краем. С одной стороны диска находится линейка, или алидада, с помощью которой проводятся измерения углов над горизонтом. С другой, лицевой, стороны, закреплены два диска с особыми шкалами и отметками: это тимпан (размеченный для разных широт по-разному) и вращающийся «паук». На этой стороне астролябии также часто крепится линейка. По результатам измерений и ранее сделанным отметкам возможно (хотя и непросто) определять солнечное время, время восхода звезд над горизонтом, положение небесных тел, а также проводить другие расчеты (например, измерять расстояния).

* * *

Христиане, подстрекаемые Кириллом, стащили Гипатию с колесницы, избили ее, раздели и четвертовали под сводами храма, отделив плоть от костей. Затем останки Гипатии были сожжены.

Толпа нападает на колесницу Гипатии.

Гипатия считается автором следующих высказываний: «Сохраняй право мыслить; лучше рисковать ошибиться, чем совершить грех — не мыслить вовсе» или «Ужасно учить предрассудкам, словно истинам». Возможно, эти слова только приписывают Гипатии, однако, как указано в Британской энциклопедии, в свое время они немало разозлили святого Кирилла. Мы говорим «святого», поскольку в завершение этой кровавой истории о религиозной нетерпимости следует отметить: патриарх Кирилл в 444 году был причислен к лику святых, а также получил почетное звание учителя церкви. Впоследствии служители церкви и историки христианства заявили, что вина за произошедшее лежит на ведьме Гипатии, действия же Кирилла совершенно справедливы. В противовес Гипатии церковь даже выдумала святую Каталину Александрийскую, чтобы сбить с толку верующих. Эта святая якобы претерпела те же мучения, что и Гипатия, но уже не от христиан, разумеется, а от еретиков, чуждых христианству, — они вначале пытали Каталину, а затем четвертовали.

История святой Каталины так гротескна, что сама церковь позднее опровергла ее существование и, разумеется, ее предполагаемую святость.

Напоследок приведем еще один штрих к биографии Гипатии: сегодня считается, что на момент смерти ей было около 60 лет.

Гипатия стала иконой феминизма и толерантности, ее именем назван один из видов бабочек-медведиц, ей посвящены памфлеты, эпиграммы, романы, комиксы, шрифты, картины, конгрессы, театральные пьесы, фотографии Джулии Маргарет Кэмерон (в 1887 году), комментарии Марселя Пруста, статьи, биографические книги и, что самое важное, фильмы. Последний из фильмов о Гипатии, вышедший на экраны в 2009 году, — «Агора» Алехандро Аменабара. Хотя сценарий не лишен некоторых художественных вольностей, этот фильм был даже показан в Ватикане и не вызвал критики высших церковных сановников. В фильме Гипатия умирает по собственной воле сравнительно безболезненной смертью от рук раба, и лишь затем ее забрасывают камнями и четвертуют. Авторы фильма весьма вольно обращались с фактами, поэтому мы никогда не узнаем не только о том, как на самом деле умерла Гипатия, но и о том, действительно ли увлечение коническими сечениями и системой Аристарха навели ее на мысль, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, а в центре мира находится не Земля, а Солнце. По крайней мере, именно об этом идет речь в фильме Аменабара.

Модель Солнечной системы Аристарха Самосского (он. 310 до н. э. — ок. 230 до н. э.) была гелиоцентрической, иными словами, Аристарх предполагал, что Солнце находилось в центре небесной сферы, а Земля вращалась вокруг него. Описать траектории небесных тел в этой модели было непросто — для этого использовались достаточно странные конструкции, включая эпициклы. Гипатия была сторонницей системы Аристарха, и весьма вероятно, что ее критика в адрес Птолемея (в «Альмагесте» он описал геоцентрическую систему мира) спустя много веков повлияла и на Николая Коперника.

* * *

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ

Это название в древности объединяло три всем известные кривые: эллипс, гиперболу и параболу — все они образуются сечением конуса вращения плоскостью. Если плоскость сечения параллельна образующей конуса, сечением будет парабола, в противном случае — гипербола или эллипс. Предельный случай эллипса — окружность, которая представляет собой эллипс без эксцентриситета и образуется при сечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса.

Хотя конические сечения первым описал Менехм (ок. 380 г. до н. э. — ок. 320 г. до н. э.), их автором считается Аполлоний Пергский, давший сечениям название и подробно рассмотревший их в своих восьми книгах, которые Гипатия снабдила частичными комментариями. Важность конических сечений заключается в том, что, как показал Кеплер и доказал Ньютон, они представляют собой траектории движения небесных тел.

* * *

Труды Гипатии, упоминаемые практически во всех источниках, представляют собой комментарии к более ранним текстам. Под комментариями здесь следует понимать неотделимые от исходного текста короткие заметки, подобные тем, что оставлял Ферма на полях прочитанных книг. В частности, Гипатия прокомментировала «Альмагест» Птолемея, «Конические сечения» Аполлония Пергского (ок. 262 г. до н. э. — ок. 190 г. до н. э.), «Арифметику» Диофанта Александрийского (между 200 и 214 — между 284 и 298) и «Астрономический канон», который предположительно представлял собой сборник таблиц движения небесных тел. Вместе с отцом Гипатия усовершенствовала астролябию и подготовила комментарии к «Альмагесту» Птолемея и «Началам» Евклида. Между прочим, арабский первоисточник, который был переведен на латынь в XII веке и на основе которого был подготовлен современный текст этого монументального труда, по удивительному стечению обстоятельств представляет собой текст Евклида с комментариями Теона и Гипатии.

Гипатия самостоятельно сконструировала ареометр — прибор для измерения плотности и веса жидкостей.

Заметим, что не известно ни одного труда, который бы однозначно принадлежал Гипатии. Ее комментарии либо утеряны, либо неотделимы от исходных текстов. Однако современники считали эту женщину величайшим математиком.

Диофантовы уравнения

Как мы уже говорили, Гипатия потратила много сил на составление комментариев к трактатам Диофанта. В своих 13 книгах (до нас дошли только шесть из них) Диофант рассматривает уравнения, весьма схожие с теми, которые сегодня по праву называются диофантовыми. Это алгебраические уравнения с целыми коэффициентами и целыми решениями; если говорить сухим языком современной математики, это уравнения, определенные на кольцах [x₁, x₂… x_n].

Разумеется, об этих уравнениях можно долго рассказывать, но, как говорится, один хороший пример лучше тысячи объяснений, поэтому обратимся к известной и довольно занимательной истории, впервые рассказанной писателем Беном Эймсом Уильямсом, автором бестселлеров «Бог ей судья» (Leave Her to Heaven) и «Все братья были храбрецами» (All the Brothers Were Valiant). Эта история об обезьяне, моряках и кокосах звучит так.

Потерпев кораблекрушение, на пустынный тропический остров выбрались пять изголодавшихся моряков. На острове, казалось, не было никакой пищи, кроме кокосов, и моряки собирали их, пока не стемнело. Ночь была столь темной, что моряки решили устраиваться на ночлег и поделить кокосы на следующий день. Они шутливо пожелали спокойной ночи обезьяне — по всей видимости, единственному человекообразному жителю острова — и улеглись на песке. Вскоре моряки дружно захрапели.

Однако ночью один из моряков проснулся от голода. Он подошел к горе кокосов, разделил ее на пять частей (допустим, что в каждой части было а кокосов) и съел свою долю. Один кокос оказался лишним, и моряк отдал его обезьяне. После этого моряк отправился спать. Вскоре проснулся второй моряк и поступил точно так же, как и первый. Он разделил оставшиеся кокосы, не заметив, что их стало меньше, и съел свою долю (допустим, b кокосов). Один кокос вновь оказался лишним, и моряк отдал его обезьяне. Так поступили все моряки, и у каждого оставался лишним один кокос, который доставался обезьяне. Сколько кокосов было вначале?

Если мы обозначим это число через N, то задача сводится к системе диофантовых уравнений (а это уже совсем не очевидно), описывающих манипуляции с кокосами, которые, подобно матрешкам, делились на все более мелкие части:

N = 5a +1

N — а — 1 = 5Ь + 1

N — а — b — 2 = 5с + 1

N — a — b — c — 3 = 5d + 1

N — a — b — c — d — 4 = 5е +1.

Здесь а, Ь, с, d и е — число кокосов, съеденных каждым моряком. Последовательно выполнив замены переменных, получим уравнение

1024·N = 15 625·е + 11 529.

Оно имеет бесконечно много решений, которые можно найти несложными алгебраическими методами (мы не будем приводить подробное решение, чтобы читатель тоже мог продемонстрировать математические способности). Решение таково:

Чтобы найти решения, достаточно подставить вместо ? различные целые числа. Разумеется, наименьшее число кокосов, которые можно съесть, обязательно должно быть положительным. Приняв ? = 1, получим решение, которое будет наименьшим: N = 15621. Простые подсчеты показывают, что моряки съели 3124, 2499, 1999, 1599 и 1279 кокосов соответственно. Да уж, у них был отменный аппетит!

Елена Лукреция Корнаро Пископия (1646–1684)

В одной из опер Доницетти рассказывается о приключениях — точнее сказать, злоключениях — благородной венецианки Катерины Корнаро, которая правила Кипром и Арменией в 1500 году. Эта опера осталась бы практически незамеченной, если бы в 1972 году главную роль в ней не исполнила Монсеррат Кабалье, а ее партнером не был Хосе Каррерас. Фамилия Корнаро всегда славилась в Венеции — ее носили члены самых знатных семейств, которые становились кардиналами, папами и даже художниками.

Нас интересует Елена Лукреция Корнаро Пископия, которая, несмотря на свою яркую фамилию, не была царицей и выделялась разве что умом; ее вполне можно назвать царицей математики своего времени. Лукреция Пископия (под этим именем она упоминается в большинстве энциклопедий) стала первой женщиной в западном мире, получившей степень доктора. Если учесть, какой была жизнь в те годы и какую роль в обществе играли женщины, становится понятным, что это очень и очень высокое достижение.

Портрет Лукреции Пископии кисти безымянного художника, хранящийся в Амброзианской библиотеке Милана.

Лукреция родилась в Венеции, в палаццо Лоредан, в благородной семье: ее отец Джованни Батиста Корнаро-Пископия был прокуратором Святого Марка, мать, Дзанетта Бони, происходила из скромного семейства. Благодаря знатному происхождению и богатству Лукреция получила прекрасное всестороннее образование.

Возможно, она не достигла бы больших успехов, если бы не обладала поистине удивительными способностями. Лукреции с легкостью давались иностранные языки: она начала изучать их в возрасте семи лет и вскоре заслужила звание oraculum septilingue («семиязыкий оракул»). Помимо родного языка, она свободно изъяснялась на латыни, греческом, арабском, французском, иврите и испанском. Также девушка увлекалась музыкой: она сочиняла музыкальные композиции и играла на арфе, клавесине, клавикорде и скрипке, то есть почти на всех основных инструментах той эпохи. Кроме этого, ей принадлежат значительные достижения в философии, литературе, риторике и логике, богословии и, конечно, математике и даже астрономии. Однако главной страстью Лукреции стали философия и богословие.

Единственным, что не привлекало ее, была мирская суета: хотя к ней сватались завидные женихи, Лукреция отвергала их одного за другим, так как втайне мечтала постричься в монахини. В 1665 году она стала послушницей, но намного раньше, еще в 14 лет, дала обет безбрачия.

Отец страстно желал, чтобы его дочь получила крайне почетную в то время степень доктора, и Лукреция решила подготовить диссертацию на соискание степени в Падуанском университете. «Богословы, — непочтительно говорил Спиноза, — подобны свиньям: стоит накрутить одному хвост, как все принимаются хрюкать».

Прославленные итальянские богословы повели себя в точности так, как говорил Спиноза: они все как один воспротивились тому, чтобы присвоить Лукреции степень доктора богословия. Подобная честь была излишней для женщины, пусть даже такой умной, как Лукреция. Как гласит пословица, к серьезному следует относиться серьезно. К священному — тоже, добавляли богословы. Однако благодаря давлению со всех сторон богословскому сообществу пришлось пойти на уступки, пусть и не в полной мере. Лукреции было разрешено претендовать на получение докторской степени по философии — науки менее «опасной», чем богословие.

25 июня 1678 года в Падуе 32-летняя Лукреция предстала перед ученым советом. С этим экзаменом связывалось столько ожиданий, что на него прибыли слушатели из Болоньи, Перуджи, Рима и Неаполя, не говоря уже о многочисленных венецианских друзьях Лукреции. Летописцы указывают, что женщина представила на латыни диссертацию, посвященную непростым вопросам, связанным с трудами Аристотеля. Ученые экзаменаторы лишились дара речи: они очевидно уступали Лукреции в знаниях. В конце концов богословы признали ее способности и присудили Лукреции степень доктора со знаками отличия: кольцом, накидкой из горностаевого меха и лавровым венком, которым в древности награждали поэтов.

Позднее она была избрана членом многих европейских академий наук. Семь оставшихся лет жизни Лукреция посвятила преподаванию математики в Падуанском университете и благотворительности, в чем немало преуспела.

Лукреция умерла от туберкулеза, не дожив до 40 лет, и была похоронена в своем одеянии монахини-бенедиктинки в Падуе. В этом же городе в честь женщины-математика установлена статуя. Спустя четыре года после смерти Лукреции ее труды были изданы в Парме. Сегодня ученые могут ознакомиться с ними и убедиться, что она не написала ничего особенно значимого или революционного.

На этом витраже в Колледже Вассара (Нью-Йорк, США) изображен финал экзамена Лукреции Пископии. Она уже облачена в накидку из горностаевого меха и ждет, когда на нее возложат лавровый венок.

Потомки отнеслись к Лукреции по-разному: феминистки считали ее легендарной личностью, математики — заметной фигурой той эпохи, а люди попроще обращают внимание разве что на ее не совсем благозвучное имя. Компания Schaefer Yarn назвала в честь Лукреции Пископии один из цветов искусственной шерсти и шелка.

Другие цвета названы в честь Мэй Уэст, Жозефин Бейкер и Бедовой Джейн — согласитесь, неплохая компания для женщины-математика, которая хотела стать монахиней.