Другой набор инструментов

Другой набор инструментов

В аспирантской школе Принстона физическое и математическое отделения делили общую комнату отдыха, в которой мы каждый день, в четыре часа, пили чай. Так мы не просто имитировали порядки английского колледжа, но и получали послеполуденную разрядку. Кто-то играл в го, кто-то обсуждал теоремы. В те дни главной сенсацией была топология.

Как сейчас помню двух ребят — один сидит на кушетке, напряженно о чем-то размышляя, а другой стоит перед ним и говорит:

— И следовательно, то-то и то-то справедливо.

— Это почему же? — спрашивает сидящий.

— Так это же тривиально! Тривиально! — восклицает стоящий и быстро перечисляет череду логических шагов: — Во-первых, предполагается то и это, затем мы берем это и то Керкгофа, а у нас имеется теорема Ваффенстофера, мы делаем подстановку этого и строим то. Теперь ты берешь вектор, который направлен вот сюда и тогда то да се…

А сидящий на кушетке силится понять весь этот ужас, который продолжается, и на большой скорости, целых пятнадцать минут!

И вот стоящий заканчивает, а сидящий говорит:

— Да, да. Это тривиально.

Мы, физики, и посмеивались над ними, и старались их понять. Мы решили, что «тривиально» означает «доказано». И говорили им так: «У нас имеется новая теорема, согласно которой математики способны доказывать только тривиальные теоремы, поскольку каждая теорема, будучи доказанной — тривиальна».

Математикам наша теорема не нравилась, что и позволяло мне их дразнить. Я говорил, что в их науке нет никаких сюрпризов — математики доказывают только то, что и так очевидно.

Однако топология математикам очевидной отнюдь не казалась. В ней присутствовало множество замысловатых возможностей, которые были «контринтуитивны». И мне пришла в голову идея. Я бросил им вызов: «Готов поспорить, что не существует ни одной теоремы, которую вы сумеете мне изложить — но только так, чтобы я все понял, — и про которую я не смогу сразу сказать, истинна она или ложна».

Выглядело это зачастую так. Они объясняли мне:

— У вас есть апельсин, правильно? Вы разрезаете его на конечное число кусочков, потом снова складываете их вместе и апельсин получается размером с солнце. Истинно или ложно?

— Промежутков между кусочками нет?

— Нет.

— Невозможно! Быть такого не может.

— Ха! Вот он нам и попался! Все сюда! Это теорема такого-то о неизмеряемой мере!

Все страшно радовались — и вправду, попался, но тут я напоминал им:

— Вы же говорили об апельсине. А апельсин невозможно разрезать на кусочки, которые мельче атомов.

— Но у нас есть условие непрерывности: мы можем резать его и резать!

— Да нет, вы же сказали: апельсин. Ну я и предполагал, что речь идет о реальном апельсине.

В итоге, я всегда побеждал. Если я угадывал верно — очень хорошо. Если неверно, мне неизменно удавалось найти в их упрощениях нечто, о чем они забыли упомянуть.

На самом-то деле, мои догадки были не лишены определенных достоинств. У меня имелась схема, которую я и сейчас применяю, когда человек объясняет мне что-то, что я пытаюсь понять: я все время приводил примеры. Ну, скажем, математики придумывают роскошную теорему и приходят в полный восторг. Пока они перечисляют мне условия, я сооружаю в уме нечто, всем этим условиям отвечающее. Например, у вас имеется множество (один мячик) — и множества непересекающиеся (два мячика). Далее, эти мячики меняют цвет, отращивают волосы или совершают еще что-то неподобное, — в моем, то есть, уме, пока я выслушиваю условия теоремы. Наконец, формулируется сама теорема, какая-нибудь чушь о мячике, к моему волосатому зеленому мячику нисколько не относящаяся, и я заявляю: «Ложно!».

Если теорема верна, они приходят в восторг совсем уж полный, и я позволяю им немного порадоваться. А потом привожу мой контрпример.

— О, мы забыли сказать вам, что все это относится ко 2-му классу гомоморфности Хаусдорфа.

— А-а, — говорю я, — ну, тогда это тривиально! Это тривиально!

К этому времени я уже понимаю, к чему все клонится, хоть и понятия не имею о том, что такое гомоморфность Хаусдорфа.

Как правило, я угадывал верно, потому что, хоть математики и считали свои топологические теоремы контринтуитивными, теоремы эти были вовсе не такими сложными, какими казались. Со всеми их смешным фокусами насчет сверхтонкого разрезания вполне можно было освоиться, а после догадаться, куда идет дело уже не составляло труда.

Хоть я и доставлял математикам немало хлопот, они всегда относились ко мне по-доброму. Счастливые они были ребята — выдумывали всякие штуки и страшно им радовались. Обсуждали свои «тривиальные» теоремы, но если ты задавал им простой вопрос, они всегда старались на него ответить.

Мы с Полом Оламом совместно пользовались одной ванной комнатой. И подружились — и он попытался обучить меня математике. Пол довел меня аж до гомотопных групп, но на них я сломался. Однако вещи попроще понимал довольно хорошо.

Вот чего я никогда не понимал, так это контурного интегрирования. Я научился брать интегралы разными методами, описанными в книгах, которые давал мне мой школьный преподаватель физики мистер Бадер.

Как-то раз он попросил меня остаться после занятий. «Фейнман, — сказал он, — вы слишком много разговариваете на уроке, производите слишком много шума. И я знаю, по какой причине. Вам скучно. Поэтому я собираюсь дать вам книгу. Сидите вон там у задней стены, в углу, и занимайтесь ею, а когда вы поймете все, что в ней написано, мы с вами поговорим снова».

И дальше на уроках физики я не уделял никакого внимания закону Паскаля или что они там проходили. Я сидел у задней стены с книгой: «Передовые методы вычислений» Вудса. Бадер знал, что я немного знаком с «Вычислениями для практического человека», вот он и задал мне настоящую задачу — для младшего, а то и старшего курса университета. Я разобрался в рядах Фурье, в бесселевых функциях, в детерминантах, в эллиптических функциях — во множестве замечательных вещей, о которых ничего до той поры не знал.

Эта книга научила меня еще и тому, как дифференцировать параметры под знаком интеграла — операция не из простых. Впоследствии выяснилось, что в университетах ее почти и не преподают, просто не обращают на нее особого внимания. А я этот метод использовать умел — и использовал, черт его подери, снова и снова. В общем, самостоятельно изучив ту книгу, я набрел на странноватые методы взятия интегралов.

В результате, когда у ребят в МТИ или Принстоне возникали сложности с каким-нибудь интегралом, то главном образом по той причине, что эти интегралы не поддавались стандартным методам, которые проходят в школе или университете. Контурный интеграл они брали легко, с простыми разложениями в ряд тоже справлялись. А дальше появлялся я и пробовал провести дифференцирование под знаком интеграла и оно нередко срабатывало. Так что я обзавелся серьезной репутацией по части интегралов — лишь потому, что мой набор инструментов отличался от наборов всех прочих, и когда их инструменты не срабатывали, они обращались ко мне.