Желаемое принимается за действительное
Желаемое принимается за действительное
В сентябре 1955 года в Токио состоялся международный симпозиум. Для молодых японских математиков это была уникальная возможность продемонстрировать остальному миру свои результаты. Они распространили среди участников симпозиума подборку из тридцати шести задач, связанных с той проблемой, над которой они работали, предпослав задачам следующее скромное введение: «Некоторые нерешенные математические задачи. Никакого основательного предварительного исследования не проводилось. Некоторые из предлагаемых задач могут быть тривиальными или уже решенными. Обращаемся к участникам семинара с просьбой прокомментировать любые из них».
Четыре задачи были предложены Таниямой и указывали на любопытную связь между модулярными формами и эллиптическими уравнениями. Эти невинные задачи в конце концов привели к перевороту в теории чисел. Танияма смог вычислить несколько первых членов M-ряда некоторой модулярной формы и понял, что эти члены совпадают с членами E-ряда хорошо известной эллиптической кривой. Танияма вычислил еще несколько членов каждого ряда, и M-ряд модулярной формы и E-ряд эллиптической кривой полностью совпали.
Ютака Танияма (крайний слева) и Горо Шимура (крайний справа) на Международном симпозиуме в Токио (1955)
Это открытие было поразительным, потому что не было никакой видимой причины, по которой модулярную форму можно было связать с эллиптической кривой. Однако, математические ДНК (E- и M-ряды), составляющие самую сущность обоих математических объектов, оказались тождественными. Открытие Таниямы было глубоким по двум причинам. Во-первых, оно наводило на мысль о существовании фундаментальной взаимосвязи между модулярными формами и эллиптическими кривыми — разными объектами математического мира. Во-вторых, оно означало, что математикам, которые уже знали M-ряд модулярной формы, нет необходимости вычислять E-ряд для соответствующей эллиптической кривой, поскольку он в точности совпадает с M-рядом.
Установление взаимосвязи между, казалось бы, различными объектами чрезвычайно плодотворно не только в математике, но и в любой науке. Такая взаимосвязь указывает на какой-то глубокий принцип, лежащий в основе обоих объектов и позволяющий глубже понять их. Например, первоначально физики рассматривали электричество и магнетизм как совершенно не связанные между собой явления, а в XIX веке теоретики и экспериментаторы поняли, что электричество и магнетизм тесно связаны между собой. В результате было достигнуто более глубокое понимание и электричества, и магнетизма. Электрические токи порождают магнитные поля, а магниты могут индуцировать электричество в проводниках, находящихся вблизи магнитов. Это привело к изобретению динамомашин и электромоторов. В конце концов было открыто, что свет представляет собой результат согласованных гармонических колебаний магнитного и электрического полей.
Танияма исследовал несколько других модулярных форм, и в каждом случае M-ряд в точности совпадал с E-рядом эллиптической кривой. Танияма начал размышлять над тем, не может ли каждая модулярная форма находиться в соответствии с некоторым кубическим уравнением. Может быть, у каждой модулярной формы есть такая же ДНК, как у некоторой эллиптической кривой? Именно с этой гипотезой и были связаны задачи, которые Танияма предложил вниманию участников симпозиума.
Идея о том, что каждая эллиптическая кривая связана с какой-то модулярной формой, была настолько необычна, что те, кому довелось взглянуть на задачи Таниямы, считали их не более чем забавным наблюдением. Разумеется, Танияма продемонстрировал, что несколько эллиптических кривых можно поставить в соответствие определенным модулярным формам, но участники семинара сочли, что это не более чем совпадение. По их мнению, гипотеза Таниямы о существовании какой-то более общей и универсальной взаимосвязи не имела под собой достаточного основания. Она опиралась не столько на факты, сколько на интуицию.
Единственным союзником Таниямы был Шимура, твердо веривший в силу и глубину идей своего друга. После симпозиума он стал работать вместе с Таниямой, стремясь довести его гипотезу до такого уровня, на котором остальной мир уже не сможет игнорировать полученные ими результаты. Шимура хотел найти новые факты, подтверждающие существование взаимосвязи между модулярными формами и эллиптическими кривыми. Их сотрудничество временно приостановилось в 1957 году, когда Шимура был приглашен в Принстонский институт высших исследований. По истечении двух лет работы в Америке в качестве приглашенного профессора Шимура намеревался возобновить совместную работу с Таниямой, но этим планам не суждено было сбыться. 17 ноября 1958 года Ютака Танияма покончил жизнь самоубийством.