ИСЧИСЛЕНИЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

В марте 1666 года старейшины университета, убедившись в том, что «слава господу, колледжи не подверглись заражению чумой», послали уведомления членам колледжей и студентам с предложением вернуться к занятиям.

Мать Анна прокалила письмо над каминным огнём, затем повесила выветриваться в чулане на бельевой верёвке, потом проколотила меж двумя плоскими камнями, и лишь затем отдала Исааку.

Ко дню благовещенья, в марте 1666 года, Ньютон прибыл в Кембридж. К его удивлению, несколько героев — добровольных стражей Тринити-колледжа, оставшихся в его древних стенах, гулких коридорах и пустых комнатах, оставшихся на верную смерть, защитившись лишь невообразимым количеством профилактического средства, сильно подкреплённого хересом, — не погибли ни от чумы, ни от своего противочумного снадобья.

Тринити заполнялся, но о занятиях никто не думал. Голландские корабли стояли на Темзе и угрожали Лондону. Предсказания кометы продолжали сбываться, а Ньютон в это время заканчивал две свои математические статьи.

В июне, в связи с новой чумной волной Ньютон снова уехал в Вулсторп и пробыл там до конца апреля 1667 года. Студенты разъехались по всей стране, те, кто побогаче, — в родовые имения в деревенской глуши, те, кто победнее, — в окрестные кембриджские деревни, под наблюдение тьюторов. Считалось, что занятия тем самым не прекращены. Пуллейн не настаивал, чтобы Ньютон был с ним, и Исаак с радостью уехал в Вулсторп.

В сентябре до Вулсторпа донеслись вести о новом несчастье — Большом лондонском пожаре. Первые искры его блеснули в доме королевского булочника в Пудинговом переулке недалеко от теперешнего Лондонского моста. Дом вспыхнул, как вязанка хвороста, — и это было естественно, ибо он был полон хвороста для поддержания огня в печах. Огонь стал распространяться по городу. Все были убеждены, что это козни иностранцев: Англия воевала с Голландией, ревниво смотрела на Испанию и подозревала во всём Францию. В городе могло найтись множество чьих-нибудь тайных агентов. Католики могли бы работать на Францию, а «круглоголовые» — на Голландию. Огонь тем временем быстро распространялся. Лишь собор святого Павла, самое высокое здание Европы, стоял, пока не тронутый пламенем. Но в конце концов не устоял и собор.

В этом гигантском пожаре погибло всего шестеро; сгорело тринадцать тысяч двести частных домов стоимостью четыре миллиона фунтов, 87 приходских церквей стоимостью 250 тысяч фунтов, конторские здания стоимостью миллион фунтов. Повреждения собора святого Павла оценивали в два миллиона, а сгоревшие товары — в четыре миллиона.

Старый Лондон сгорел, и некоторым членам Королевского общества, и в частности Кристоферу Рену и Роберту Гуку, поручено было создать новый город — Лондон будущего.

…Но даже страшные вести о чуме, о пожаре, о предстоящем вскоре судном дне (год 1666-й был определён астрологами и предсказателями всех мастей как год Страшного суда) не смогли сейчас привлечь сколько-нибудь пристального внимания Ньютона. Он был не способен думать о чём-нибудь, кроме своих флюксий. Он не мог спать, ощущая умом и сердцем, всем существом своим близость крупнейшего открытия… Теперь, после освоения рядов, был расчищен широкий путь к разработке основ интегрального и дифференциального исчисления. Сам Ньютон вспоминал:

«Намёк на метод я получил из способа Ферма проведения касательных; применяя его к абстрактным уравнениям прямо и обратно, я сделал его общим. Г-н Грегори и д-р Барроу применяли и улучшили этот метод проведения касательных. Одна моя статья послужила оказией для д-ра Барроу показать мне его метод касательных до включения его в 10-ю лекцию по геометрии. Ибо я — тот друг, о котором он там упоминает».

Действительно, в ходивших по рукам спискам работ Ферма, в письмах, порхавших между учёными, содержались важные идеи, заложенные в основу исчисления бесконечно малых. Ньютон не входил ещё в число тех, кому посылают научные письма, но Барроу наверняка был одним из активных корреспондентов английских и континентальных математиков. Барроу мог сообщить и, видимо, сообщил Ньютону то, что при жизни Ферма так никогда и не было опубликовано.

Пьер Ферма, парламентский советник из Тулузы, только что умер. Он был почитателем Декарта и внёс серьёзные усовершенствования в его метод координат. Почитателем, впрочем, своеобразным, не раз вступавшим с ним в споры. Он дал уравнения прямой линии и кривых второго порядка. Проводя касательные к кривым, Ферма мог оценивать их кривизну, умел находить максимумы и минимумы кривых, их точки перегиба. Другими словами, он осуществлял уже примитивное дифференцирование и решение дифференциальных уравнений. Он мог и интегрировать, ибо умел рассчитывать площади, ограниченные кривыми линиями — любыми, в том числе дробными и отрицательными степенными функциями. Но Ферма не видел ни малейшей связи между этими процессами!

Шотландский астроном Джеймс Грегори, человек с трагической судьбой (он ослеп, проводя астрономические наблюдения, и рано умер), предтеча Ньютона и в исчислении бесконечно малых, и в гораздо большей степени — в изобретении зеркального телескопа, был тогда совсем молодым ещё человеком — всего на четыре года старше Ньютона. Но он многое успел. Он знал метод касательных, мог вычислять площади сектора круга, гиперболы и эллипса. При этом он широко пользовался не только рядами, но и логарифмами, что было по тому времени новинкой. В логарифме математика XVII века впервые встретилась с функцией непрерывно изменяющегося аргумента. Это было и возвратом к старым как мир кинетическим традициям, восходящим чуть ли не к Аристотелю, к средневековой оксфордской школе калькуляторов, к ученикам знаменитого французского математика XIV века Никола Орема. В то же время это было и громадным шагом вперёд. Некоторые современные исследователи в области истории математики считают, что «труды Непера и других математиков XVII века, связанные с открытием логарифмов, оказали гораздо более глубокое влияние на творцов дифференциального исчисления, чем исследования, относящиеся к проведению касательных и отысканию наибольших и наименьших значений, которые послужили скорее поводом к открытию этого исчисления».

Кинетическая традиция, например, чётко прослеживалась и у самого Исаака Барроу. Ньютону была близка манера Барроу рассматривать различные линии и фигуры как результат движения. Линия — след движущейся точки. Поверхность — след движущейся линии. Это давало возможность физической трактовки математических операций. Можно было, например, представлять переменные как прямолинейные участки пути, проходимые с некоторой скоростью за единицу времени.

У Барроу было и другое. Он, возможно, первым увидел связь между нахождением квадратур и построением касательных к кривым, стал догадываться о том, что это взаимообратные операции. На одном из его чертежей — две кривые. Площади криволинейных трапеций, образуемых одной из них, осью абсцисс и ординатами пропорциональны ординатами другой кривой. Тем самым он оторвал будущее понятие интеграла от площади, сделав его отрезком прямой линии. Интеграл и дифференциал становились обыкновенными функциями переменной величины.

Барроу был уже близок к пониманию производной как скорости процесса — он считал, что свойства любой кривой линии могут быть определены из геометрического сложения переменных вертикальной и горизонтальной скоростей. Но нужен был новый шаг — решительный и смелый, порывавший с традициями современной Ньютону математики. Делая этот шаг, нужно было отказаться от некоторых несомненных прежде достижений математической мысли.

Да, нужно признать сразу: многие исследователи считают — и справедливо, — что методы бесконечно малых у Ньютона не могли быть названы строгими. И тому есть причины, оправдание и даже похвала. В истории математики, как и в истории любой науки, бывали периоды, когда требование абсолютной точности доказательств тяжёлыми веригами опутывало творцов, стоящих на пороге великих достижений, сплошь да рядом связанных с необходимостью отрыва от земли, свободного полёта фантазии.

Таким строгим методом с античных времён и до времён Ньютона был «метод исчерпания» или «Архимедов метод». Этот метод, придуманный в IV веке до нашей эры Евдоксом, поддержанный Аристотелем и ставший фундаментом евклидовой геометрии, на первый взгляд, казалось бы, вовсе не исключал свободный полёт фантазии, прозрение, отгадку, интуицию. Всё это было возможно и даже приветствовалось. Но; нужно было каждый раз обязательно доказать, что полученный с их помощью результат отличается от истинного результата менее, чем на любую наперёд заданную величину. В противном случае результат не считался доказанным.

Жёсткие путы налагались этим правилом на математиков. Мало кто посмел бы рискнуть представить на суд учёных коллег новое слово своё, не подкреплённое доказательством методом исчерпания.

Попробовал Кавальери попытаться разработать алгоритм интегрирования, вывести свою «линейную сумму» — прототип интеграла, но ревнители строгости быстро отбили у него охоту вольничать.

И всё же! Именно Кавальери предложил новый, никак не доказуемый методом исчерпания метод «неделимых» математических «атомов» — бесконечно малых, но всё же не нулевых величин. Торричелли говорил о нём:

«Несомненно, геометрия Кавальери — это истинно царская дорога посреди запутанных зарослей математического терновника! Метод Кавальери следует самой природе. Жаль мне древней геометрии, которая — не зная или не желая знать учение о неделимых, оставила нашему веку в наследство лишь злополучное убожество!»

— Долой Евклида и Архимеда, да здравствует Кавальери! — повторяли с Торричелли молодые математики. А ревнители травили Кавальери, который, устав от борьбы, жаловался друзьям:

— Все эти придирки и споры, скорее философские, чем геометрические, для меня крайне мучительны… Считаю неправильным тратить время, которое ещё осталось мне для работы, на эти пустяки.

И не отвечал на критические нападки. Многие не поняли идей Кавальери или поняли их не так. Торричелли, например, счёл, что навсегда избавлен от обязанности представлять доказательства. Плотина была прорвана — и математики, впав в иную крайность, свободно жонглировали теперь нулями и бесконечностями, сходящимися и несходящимися рядами.

Неделимые были подозрительны. Их третировали ревнители строгости, их не признавали христианские богословы:

— Всякие науки истинны, кроме тех, что основаны на предположении, что непрерывное состоит из неделимых!

Богословы предупреждали:

— Если допустить, что мир состоит из материальных неделимых и пустоты, то получится, что духовный мир — это продукт чистой материи, что ересь.

Монах Кавальери, естественно, страшился таких обвинений. Он разъяснял:

— Я никогда не решался утверждать, что непрерывное составлено из неделимых, лишённых, конечно, какой бы то ни было толщины. Нельзя составить, как делает Кеплер, большие тела из мельчайших тел. Неделимые — это следы «текущей», «флюентной», движущейся плоскости, пересекающей данную линию, фигуру или тело и оставляющей на ней во все моменты времени след. Ведь время, как говорили пифагорейцы, состоит из отдельных моментов!

Возврат к кинетическим традициям древних философов-пифагорейцев вызывался расцветом механики и астрономии. Статическое интегрирование точек заменялось кинематическим интегрированием траекторий. Другими словами: линия перестала интересовать исследователей как таковая — линия стала следом движущегося реального тела, описанием реального процесса. И вот, изучая метод Валлиса, Ньютон понял, что он представляет собой гораздо более удобный и универсальный инструмент, чем считал сам Валлис. Ньютон понял, что валлисовские квадратуры есть частные случаи единого процесса, который мы по сегодняшней классификации назвали бы интегрированием — операцией, обратной дифференцированию. И более того. Если Валлис считал, что площади под кривыми есть статистические суммы бесконечно малых площадей, то Ньютон, следуя Барроу, воспринимал эти площади кинетически. Его площади описываются движущейся точкой. Он достиг непрерывности движения там, где Валлис видел ступеньки. Решающий шаг — описание кривых точкой, движущейся при определённых условиях. Возможно, этот шаг связан с лекциями Барроу. Именно идея движения принесла от Кавальери термин «флюксии» — «текущие», термин, которым Ньютон характеризовал свой метод. Движение предполагало введение новой переменной — времени и нового понятия — скорости, эквивалентного современной производной.

Ньютон считал, что любая кривая линия — это след движущейся точки. Элементы этого движения всё время меняются, причём в разной степени, находясь в то же время в некоторой связи между собой, определяемой уравнением. Если знать уравнение кривой, то можно в любой заданный момент времени при любом значении «x» узнать изменения или «флюксии» этих элементов.

В более позднем «Трактате о квадратуре кривых» Ньютон пишет:

«…Я рассматриваю математические величины не как состоящие из очень маленьких частей, но как описываемые с помощью непрерывного движения. Линии описываются и, следовательно, порождаются непрерывным движением точек, поверхности — движением линий, пространственные фигуры — вращением сторон, интервалы времени — непрерывным течением и т. д. Это порождение имеет место в природе вещей и может каждодневно наблюдаться по движению тел… Следовательно, рассматривая эти величины, которые равномерно увеличиваются и порождаются этим увеличением, становясь больше или меньше в соответствии с большей или меньшей скоростью, с которой они увеличиваются и порождаются, я искал метод определения величин из скоростей движения или приращений, при которых они порождаются; и, назвав эти скорости движением или приращения флюксиями, а порождённые величины флюентами, я постепенно пришёл к методу флюксий, который я и использовал в 1665 или 1666 году при решении задачи о квадратуре кривой».

Найти концепции движения достойное место в исчислении бесконечно малых помогало богатое физическое и геометрическое воображение Ньютона. Он легко представлял себе различные положения фигур, их возможные трансформации при перемещении, смещении тел, движений осей. Своим умственным взором он ясно видел, например, как круг превращается в эллипс, и видел при этом, какие изменения происходят в процессе подобного превращения в формулах. Он не смог пока найти алгоритма дифференцирования и каждый раз показывал красочную процедуру с конкретными кривыми. И чувствовал необходимость прийти к более общим выводам.

Великая заслуга Ньютона — кинетическое обоснование процесса исчисления бесконечно малых. Но и здесь у него был фундамент. Один из исследователей его творчества пишет, «что по принятой им теории плоскости получается в результате движения линий и т. п. Об этом твердили и писали и пифагорейцы, и христианские богословы, и Кавальери. Равным образом и в изучении кривых, как неких траекторий, возникших в результате сложения двух скоростей, направленных по ординатам, Ньютон тоже не был пионером; здесь Ньютон имел предшественников в лице дю-Вердю и Торричелли. Основная и величайшая заслуга Ньютона в том, что он противопоставил друг другу флюксию как скорость процесса и флюенту как, так сказать, общий результат процесса в каждый отдельный момент». Он увидел в дифференцировании и интегрировании то единство, которого никто до него не понимал.

Следует подчеркнуть, что, хотя Ньютон всё время рассматривает как бы механическое движение в пространстве и во времени, он специально оговаривает, что слово «время» носит у него чисто условное значение. Это могла бы быть любая другая величина, возрастающая равномерно и к которой могли бы быть отнесены другие изменяющиеся величины. Производная у Ньютона — это относительная скорость любого процесса.

В октябре 1666 года работа окончена. Ньютон пишет мемуар, начинающийся словами: «Следующие предложения достаточны для решения задач посредством движения». Это — систематическое изложение метода флюксий. Здесь мы находим намётки будущих дифференциалов — столь важного в последующем развитии математики понятия. В мемуаре Ньютон представляет собственный метод квадратур, даёт предложения для упрощения уравнений до форм, пригодных для интегрирования. Есть здесь и таблицы интегралов, и разложение в ряды некоторых функций. Однако сколько-нибудь постоянного обозначения для интеграла у Ньютона ещё нет. Возможно, что он не хотел снабжать специальным названием и обозначением сущность, не имеющую однозначного и единственного определения: ведь неопределённые интегралы находят с точностью до постоянной.

…В возрасте 24 лет Ньютон познал самоуважение, увидел своё отличие от других и своё превосходство. Его надежды и мечты, как выяснилось, имели под собой основания. Не напрасно страдал он от своего одиночества. И причиной этому одиночеству была его необычность, его дар.

Интересно, что он никогда не пытался опубликовать свой октябрьский трактат 1666 года. Он хранил свои секреты, как ремесленник или алхимик. Он решил пользоваться своими открытиями в одиночку и тем временем усовершенствовать метод флюксий. Он считал себя слишком молодым для того, чтобы занимать собой публику, а свой метод — слишком уязвимым для критики.

Октябрьский мемуар, оставшийся в бумагах Ньютона в виде черновика, был впервые опубликован лишь через триста лет.

За открытием Ньютона стояли не только его талант и одержимость. За ним стояли практические потребности техники, торговли и мореплавания, механика Галилея и Декарта, астрономия Коперника и Кеплера, математическое свободомыслие Кавальери и его последователей. Сделать своё открытие Ньютон смог, лишь повернувшись спиной к прошлому и находя подтверждение новым методам не в строгих доказательствах, а в обилии полученных им и подтверждающих этот метод результатов.

Данный текст является ознакомительным фрагментом.