Математика

Математика

Самое первое отчетливое воспоминание моей жизни по иронии судьбы оказалось связано с математикой. Мне шесть лет, я сижу с отцом за письменным столом, и он занимается со мной, пытаясь объяснить как измеряется площадь треугольника, круга и других фигур. К тому времени я уже хорошо читал и считал, умел немного писать, и ему казалось, что пора приобщить меня к более сложным математическим понятиям.

«Вот смотри» — говорит отец — «площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту, а площадь круга равна „пи“ на „р“ в квадрате». «Папа» — отвечаю я — «ты мне пишешь какие-то буквы, но не говоришь что такое площадь». В итоге все закончилось моим плачем и папиным раздражением: он не был математиком и не мог объяснить мне, что площадь — это функционал на множестве измеримых фигур, обладающий определенными свойствами, да я и не воспринял бы тогда по крайней молодости лет такого объяснения. Однако я помню всю глубину своего непонимания и искреннее желание осознать, что же это за штука такая площадь, и почему она называется так же, как площадь Ленина в центре Полоцка, где мы тогда жили.

Когда я подрос и пошел в школу, я легко научился манипулировать буквенными и численными выражениями и вычислять площади, но вплоть до интернатских лет у меня при этом не возникало естественного детского вопроса: а что же такое площадь?

Мне кажется, что мозг ребенка, не испорченный еще потоком подчас бессистемных знаний, который накрывает его в школьные годы, готов к правильному восприятию математики, но это чувство обычно утрачивается с течением времени под влиянием различных обстоятельств или просто за ненадобностью.

Кстати, идея измерения путем сопоставления с какими-то стандартными объектами, которая, по-видимому, и должна лежать в основе объяснений ребенку понятий длины и площади, прекрасно реализована в замечательном советском мультфильме «38 попугаев», который я считаю выдающимся примером ненавязчивого учебно-методического фильма по математике.

Я вновь столкнулся с математикой буквально через год, играя с друзьями в классики на разрисованном мелом асфальте. Не помню, кто принес в наш двор задачу-головоломку: как обвести заклеенный конверт (прямоугольник с нарисованными диагоналями) карандашом так, чтобы при этом не пройти дважды ни по одному ребру картинки. Мы все как один бросили классики и стали чертить мелом на асфальте бесконечные конверты. Однако у нас ничего не получалось. При этом незаклеенный конверт легко поддавался такому обводу, а вот заклеенный — нет.

Я долго не мог забыть эту задачу, пока через три года кто-то из моих старших друзей не рассказал мне ее решения. Оказалось, что если такая обводка картинки возможна, то у всех вершин кроме конечной и начальной должно быть четное число входящих в них ребер, потому что, войдя в вершину по одному ребру, вы должны затем выйти по другому, стало быть, каждый проход ведет к обводке двух ребер, а это четное число. Нечетное число ребер может быть лишь у двух вершин, начальной и конечной, но у заклеенного конверта таких нечетных вершин четыре. Значит, задача не имеет решения.

Я так подробно пишу об этой хорошо известной задаче, потому что, во-первых, полностью понял тогда ее решение, а во-вторых, испытал совершенно исключительное чувство красоты и освобождения: поразительно, но оказалось, что не надо решать каждую такую задачу в отдельности, а можно изучить их все сразу, заметив то общее, что их объединяет: четность и нечетность числа ребер. Эта идея, идея сопоставления арифметического инварианта геометрической конструкции (как мы бы теперь сказали) меня совершенно поразила.

Потом, когда я начал заниматься в математическом кружке пятого класса в Таллине у замечательной учительницы Анны Аркадьевны, открывшей мне дверь в интригующий и загадочный мир математики, я часто встречался с этой идеей в различных ситуациях, но первое впечатление, связанное с задачей о конверте, запомнилось мне на всю жизнь.

Новый импульс к занятиям математикой, который я испытал, совпал по времени с нашим переездом в Калининград. Я учился тогда в восьмом классе и очень интересовался радиоэлектроникой: собирал сам транзисторные приемники, упаковывая их в миниатюрные мыльницы, и эти приемники работали. Как-то отец купил мне ламповый усилитель в наборе, я, тщательно сверяясь со схемой, собрал его, а затем решил присоединить к нему колебательный контур, чтобы получить настоящий радиоприемник. Я купил ферритовый стержень, намотал на него моток проволоки и подсоединил к усилителю через переменный конденсатор. Каково же было мое удивление, когда в приемнике послышался бодрый дикторский голос с типичным западным акцентом: я попал неожиданно на волну «Голоса Америки»!

Мне хотелось продолжить эти занятия на более содержательном уровне, и я пошел в Калининградский городской дом пионеров, чтобы записаться в соответствующий кружок, но тот был совершенно переполнен желающими, и мне отказали. Тогда я с горя записался в кружок вычислительной техники, который оказался на поверку кружком по математике, причем очень хорошего уровня: здесь работали преподаватели Калининградского политехнического института, и здесь я очень многому научился, познакомившись с совершенно новым для себя классом задач и методов.

До сих пор помню, какое впечатление произвела на меня одна естественная несложная геометрическая задача, рассказанная преподавателем: можно ли на бесконечной клетчатой бумаге провести через данный узел прямую, не пересекающую других узлов решетки?

Решение здесь вновь сводится к арифметике: если бы все прямые, выходящие из данного узла, пересекали бы обязательно какой-либо другой узел, то тангенсы углов в прямоугольном треугольнике, образованные отрезком такой прямой и перпендикулярными линиями сетки, проходящими через эти узлы, были бы обязательно рациональными числами, но ведь можно провести прямую через данный узел так, что тангенс соответствующего угла будет иррациональным, и такая прямая, стало быть, других узлов не пересечет.

Занятия в кружке шли очень интенсивно, и мой математический уровень под влиянием этих занятий заметно вырос, а главное, я почувствовал настоящий вкус к решению задач, меня по-прежнему завораживали неожиданные связи между различными методами, комбинаторными, геометрическими и числовыми, которые порой совершенно неожиданным образом объединялись при решении конкретной задачи.

Система олимпиад в Калининградской области была прекрасно отлажена, и в 1965 году я прошел по всей выстроенной олимпиадной цепочке, победив последовательно на школьной, районной и областной олимпиадах. Вместе со мной в областную команду, едущую на Всероссийскую физико-математическую олимпиаду, также попал мой приятель по кружку Боря Ровнер, и руководство команды приняло решение взять вместо девятиклассников двух способных учеников восьмого класса.

Это решение оказалось правильным. Боря получил на Всероссийской олимпиаде диплом второй степени по физике, а я — аналогичный диплом по математике, и в результате впервые Калининградская областная команда в борьбе с другими областными и республиканскими командами вошла в почетную десятку.

С удовольствием вспоминаю проведенное в Москве, в МГУ и в МФТИ олимпиадное время: здесь я впервые услышал лекцию А. Н. Колмогорова о комплексных числах, вживую увидел И. Г. Петровского, вручавшего нам дипломы, и познакомился с другими победителями по математике, которыми стали Андрей Суслин и Игорь Кричевер, разделившие со мной диплом второй степени, и Мишей Бощерницаном, получившим диплом первой степени. (Суслин и Кричевер сейчас — крупнейшие математики с мировым именем, что же касается Миши, то он давно живет в Израиле и является ярким специалистом по теории динамических систем.)

В качестве приза я получил увесистую стопку книг по математике, которую поленился тащить домой и сдал в букинистический, чего до сих пор не могу себе простить, ведь в этой пачке находилась книга Спрингера «Римановы поверхности», от которой я и сейчас бы не отказался, и многое другое.

После олимпиады я поступил в Ленинградскую физико-математическую школу-интернат номер 45, и начался совсем новый период в моей жизни, о котором также немного рассказано в этой книжке.